模运算

摘自百科：

http://baike.baidu.com/link?url=zKgEVJG6RUV-amBQJzI2Vrip4zP7InbHTFJRCL5nku9rgqVokXY8uWda4rE40Brpt__q2eDcYPvmEU1YUvVjN_

运算规则

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

1. (a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
2. (a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
3. (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
4.  a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

• 结合律：
  ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

• 交换律：
  (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

• 分配律：
  (a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）
  ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

重要定理

• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
• 若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
• 若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
  (a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （13）

应用：

判别奇偶数

不说了

判别素数

欧几里得算法（辗转相除法）

http://baike.baidu.com/view/1241014.htm

其计算原理依赖于下面的定理：

定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的相除余数的最大公约数。最大公约数（greatest common divisor）缩写为gcd。

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)