最长公共子序列 LCS

也是DP入门题，紫书第九章

这里讲得很清晰：

http://www.cnblogs.com/xudong-bupt/archive/2013/03/15/2959039.html

n^2模板：

int n,m;

char a[MAXN],b[MAXN],res[MAXN];

int dp[MAXN][MAXN],dir[MAXN][MAXN];
//dir 1斜上，2左，3上

void lcs(int al,int bl)
{
    int i,j;
    for(i=1;i<=al;i++)
    {
        for(j=1;j<=bl;j++)
        {
            if(a[i-1] == b[j-1])
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                dir[i][j] = 1;
            }
            else if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                dir[i][j] = 3;
            }
            else
            {
                dp[i][j] = dp[i][j-1];
                dir[i][j] = 2;
            }
        }
    }
}

void getlcs(int al,int bl)
{
    int i = al;
    int j = bl;
    int k = 0;
    while(i && j)
    {
        if(dir[i][j] == 1)
        {
            res[k++] = a[i-1];
            i--;j--;
        }
        else if(dir[i][j]==2) j--;
        else if(dir[i][j]==3) i--;
    }
    for(int v = k-1;v>=0;v--) pf("%c",res[v]);
}

nlogn复杂度：

这个不是稳定的nlogn，事实上，LCS没有稳定的nlogn算法，只有在一定限制条件下才有可能达到。

这里的限制条件是：

A中元素在B中的序号对数很少

若是aaaa，aaaaaaa的话，则是n*nlogn复杂度，比普通lcs还慢

具体讲解：http://blog.csdn.net/wdq347/article/details/9001005

(1) 对序列B排序

(2) 计算A中每个元素在B中的序号，并构成新序列

(3) 使用LIS的方法计算最长严格递增子序列

(4) 获取最长公共子序列

性能分析：

(1) 排序复杂度为nlogn

(2) 获取一个元素在B中的序号的复杂度，最小为logn，最大为n，获取所有元素的复杂度为 nlogn === n*n

(3) LIS 复杂度为nlogn

因此总体复杂度在nlogn 到 n*n logn之间，但如果(2) 步骤中A中元素在B中的序号对数很少时，性能相当优越，在实际测试时，string 中均为小写字母，长度为10000的情况下，这种方法比普通的LCS快一倍以上；如果string 中的字符扩展成char，即0-255，则这种方法比普通的LCS快至少一个数量级

模板：

char a[MAXN],b[MAXN];
int g[MAXN],s[MAXN];

vector<int> p[26];

int lcs(int al,int bl)
{
    int i,j,z,y=0;
    for(i=0;i<=26;i++) p[i].clear();
    for(i=bl-1;i>=0;--i) p[b[i]-'a'].pb(i);
    for(i=0;i<al;++i)
        for(j=0,z=p[a[i]-'a'].size();j<z;++j)
            s[y++]=p[a[i]-'a'][j];
    mem(g,INF);
    int ans=0;
    for(i=0;i<y;++i)
    {
        int k=lower_bound(g,g+y,s[i])-g;
        ans = max(ans,k+1);
        g[k]=s[i];
    }
    return ans;
}

连续和不连续：

http://www.cnblogs.com/xubenben/p/3330712.html