Sum of Paths (DP、预处理)

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题意

　　有1到n共n个点，每个点有权值。给出一个k，你可以任选起点，然后走k步(往左或者往右)，每走一步权值会累加，求所有方案数的权值和。并且给出q次对该序列的更新——点i的权值变成x，求出每次更新后该状态的答案(任选起点走k步全部方案的权值和)。

思路

　　k是固定的，所以我们只要预处理出每个格子被走过的次数cnt[i]即可

　　我们使用DP的思想，定义dp[i][j]为走了 i 步后，在点 j 的方案数

　　因为起点是任选的，所以对于dp[0][1~n]=1，易得dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1]

　　现求格子 i 被经过多少次，不妨枚举格子 i 在第 j 次经过多少次

　　首先经过 j 步后到达格子 i 的方案数为dp[j][i]，到了格子 i 后还有k-j步可以任走

　　我们需要知道从格子 i 出发走k-j步的方案数，就是dp[k-j][i]，因为从格子 i 走k-j步的方案数等价于走k-j步走到格子i的方案数 

　　所以最后我们枚举 j 累加进cnt即可——cnt[i] +=dp[j][i] * dp[k-j][i]，求出cnt后对于每次更新就看上一次和这一次的差值×cnt[i]即可

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5e3+5;
const int mod = 1e9+7;
int n,k,q,pos,x;
ll a[maxn],cnt[maxn];
ll dp[maxn][maxn];
int main()
{
    cin>>n>>k>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int j=0;j<=k;j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(j==0) dp[j][i]=1;
            else if(i==1) dp[j][i]=dp[j-1][i+1];
            else if(i==n) dp[j][i]=dp[j-1][i-1];
            else dp[j][i]=(dp[j-1][i-1]+dp[j-1][i+1])%mod;
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=k;j++){
            cnt[i] = (cnt[i] + dp[j][i] * dp[k-j][i] % mod)%mod;
        }
        ans = (ans + a[i]*cnt[i] % mod)%mod;
    }
    while(q--){
        cin>>pos>>x;
        if(x>a[pos]){
            ans = (ans + (x-a[pos])*cnt[pos] % mod)%mod;
        }else{
            ans = (ans - (a[pos]-x)*cnt[pos] % mod + mod + mod)%mod;//防止为负
        }
        a[pos]=x;
        cout<<ans<<'
';
    }
    return 0;
}