数学分析中我们知道$mathbb R^n$中的紧集等价于有界闭集.而在复平面上则稍有区别，我们有：
在$mathbb C$上的紧集等价于有界闭集,而在$mathbb C_{infty}$上的紧集等价于闭集.
证明 对于有界闭集的紧性的证明可以把数学分析中的证明照搬过来,这里只对$mathbb C_{infty}$加以说明.设$E$为$mathbb C_{infty}$中的闭集,我们来说明他是紧集.
如果$infty otin E$,那么$E$也是$mathbb C$中的有界闭集;
而如果$inftyin E$,那么对于$E$的任意开覆盖$mathscr F$,必然存在某一个开集$F_{0}inmathscr F$使得$inftyin F_{0}$,从而存在$r>0$使得$$B(infty,r)subset F_{0}$$考虑集合$$Esetminus F_{0}:Ecap F_{0}^c$$他显然是$mathbb C$中的有界闭集.
总之不管何种情形,都相当于$mathbb C$中的情形，这样命题的充分性自然成立.
下面来证明必要性,只需说明$mathbb C_{infty}$中的紧集$E$是闭的即可,为此只需说明$E^c$为开的.任取$z_{0}in E^c$,那么对任意的$z_{1}in E$,必然存在某个邻域$B(z_{1},r_{1})$使得$z_{0} otin overline{B(z_{1},r_{1})}$,当$z_{1}$遍历$E$中所有点时我们得到了$E$的一个无限开覆盖$$mathscr F={B(z,r)|zin E,r>0}$$
且满足$z_{0} otin overline{B(z,r)}$.而$E$是紧的,所以可在$mathscr F$中选出有限个$$B_{1},cdots,B_{n}$$使得$Esubsetigcup_{i=1}^{n}B_{i}$,且$$z_{0} otin F=igcup_{i=1}^{n}overline{B_{i}}$$
这说明$z_{0}in F^c$,显然$F$是闭的,从而$F^c$开,因此存在邻域$B(z_{0},r_{0})subset F^csubset E^c$,这说明$E^c$是开的,因此$E$是闭的.