一个重要的函数

设$a$是复平面$mathbb C$中的任意一点,$0<r<R$,则存在函数$varphi$满足条件：

(1)$varphiin C^{infty}(mathbb C)$;

(2)$mathrm{supp}varphiin B(a,R)$;

(3)当$zinoverline{B(a,r)}$时,$varphiequiv1$;

(4)$forall zinmathbb C$都有$0leq varphi(z)leq 1$.

下面给出其具体形式：

任取$r<R_0<R$,令$$f(z)=left{egin{matrix}e^{frac{1}{(z-a)^2-R_1^{2}}}&,zin B(a,R_1)\0&,z otin B(a,R_1)end{matrix} ight.,g(z)=left{egin{matrix}0&,zin overline{B(a,r)}\e^{frac{1}{r^2-|z-a|^2}}&,z otin overline{B(a,r)}end{matrix} ight.$$

则$frac{f}{f+g}$即为符合要求的函数。