『一本通』区间DP

传送门：《信息学奥赛一本通》提高版题解索引

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石子合并

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,sm[505][505],bg[505][505],sum[505];
inline int read() {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

int main() {
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=read(),sum[i+n]=sum[i];
    memset(sm,INF,sizeof(sm));
    for(int i=1;i<=2*n;i++) sm[i][i]=0,sum[i]+=sum[i-1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
     for(int l=1;l+i-1<=2*n;l++) {
         int r=l+i-1;
         for(int k=l;k<r;k++) {
             sm[l][r]=min(sm[l][r],sm[l][k]+sm[k+1][r]);
             bg[l][r]=max(bg[l][r],bg[l][k]+bg[k+1][r]);
         } 
         sm[l][r]+=sum[r]-sum[l-1];
         bg[l][r]+=sum[r]-sum[l-1]; 
     }
    int minn=INF,maxx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        maxx=max(maxx,bg[i][i+n-1]);
        minn=min(minn,sm[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d
%d",minn,maxx);
}
/*
区间DP （环形处理+前缀和） 
sm[l][r]为合并 l~r 堆石子的得分总和最小值 
bg[l][r]为合并 l~r 堆石子的得分总和最大值
枚举合并断点 k 
得 sm/bg[l][r]=min/max(sm/bg[l][r],sm/bg[l][k]+sm/bg[k+1][r])
最后加上这次合并获得的得分 sum[r]-sum[l-1]
*/

能量项链

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1005][1005],a[1005];
inline int read() {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

int main() {
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),a[i+n]=a[i];
    for(int i=3;i<=n+1;i++) 
     for(int l=1;l+i-1<=2*n;l++) {
         int r=l+i-1;
         for(int k=l+1;k<r;k++)
          f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k][r]+a[l]*a[r]*a[k]);
     }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i][i+n]);
    printf("%d",ans);
}
/*
区间DP
f[i][j]：将 i~j-1 的珠子聚合所能释放的最大能量
注意循环的边界。
*/ 

矩阵取数

#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128 //拯救你的高精度 
using namespace std;
int n,m,ans,a[105],f[105][105];
inline int read() {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
void write(int x) {
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

main() {
    n=read(),m=read();
    for(int k=1;k<=n;k++) {
        for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read()*2,f[i][i]=a[i];
        for(int i=2;i<=m;i++)
         for(int l=1;l+i-1<=m;l++) {
             int r=l+i-1;
             f[l][r]=max(a[l]+f[l+1][r]*2,a[r]+f[l][r-1]*2);
         }
        ans+=f[1][m];
    }
    write(ans);
}
/*
区间DP
每一行取数不会影响到其它行，只要保证每一行得分最大即可（最优子结构）
设f[i][j]表示取区间[i][j]的最大得分。
转移方程：f[l][r]=max(a[l]+f[l+1][r]*2,a[r]+f[l][r-1]*2) 
细节（输入时将a[i]*2）
*/ 

括号配对

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[105];
int len,f[105][105];
int main() {
    scanf("%s",a+1); len=strlen(a+1);
    for(int l=len;l>0;l--)
     for(int r=l+1;r<=len;r++) {
        if((a[l]=='('&&a[r]==')')||(a[l]=='['&&a[r]==']')) f[l][r]=2+f[l+1][r-1];
        for(int k=l;k<r;k++) f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);
     }
    printf("%d",len-f[1][len]);
}
/*
区间DP
题目要求添加的括号数，只需将括号总数减去已匹配的括号数（求出未匹配的括号数） 
未匹配的括号数=需添加的括号数
所以我们求最多能匹配多少个括号（区间DP：判断匹配情况+枚举断点）
注意：第一层循环（枚举L)应为LEN~1（方程式要从后面的情况转移） 
*/ 

凸多边形的划分

#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128 
using namespace std;
int n,a[55],f[55][55];
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}

main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=3;i<=n;i++)
     for(int l=1;l+i-1<=n;l++) {
        int r=l+i-1; f[l][r]=1e30;
        for(int k=l+1;k<r;k++)
         f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k][r]+a[l]*a[r]*a[k]);
     }
    print(f[1][n]);
}
//区间DP(画图理解）

分离与合体

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[305],f[305][305],h[305][305];
queue<int>ql,qr;
inline int read() {
    int x=0,f=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}

void print() {
    ql.push(1); qr.push(n);
    while(!ql.empty()) {
        int l=ql.front(),r=qr.front(); ql.pop();qr.pop();
        printf("%d ",h[l][r]);
        if(l!=h[l][r]) {ql.push(l); qr.push(h[l][r]);}
        if(h[l][r]+1!=r) {ql.push(h[l][r]+1); qr.push(r);} 
    }
}

int main() {
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
     for(int l=1;l+i-1<=n;l++) {
         int r=l+i-1;
         for(int k=l;k<r;k++)
          if(f[l][r]<f[l][k]+f[k+1][r]+(a[l]+a[r])*a[k]) {
              f[l][r]=f[l][k]+f[k+1][r]+(a[l]+a[r])*a[k];
              h[l][r]=k;
          }
     }
    printf("%d
",f[1][n]);
    print();
}
/*
区间DP
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+(a[l]+a[r])*a[k]) <如题意>
用h[l][r]记录[L...R]区间合并价值最大的分离区域编号
利用队列依次输出分离区域编号（阶段从前到后，区域从左到右）
*/

完结撒花 (2018.12.20)