LeetCode 120. Triangle (三角形最小路径和）详解

题目详情

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

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解决代码（1）—— 空间复杂度为O(N^2)

解决思路

这个题目非常明显的动态规划问题， 当前节点的最小值由前面一层的一个（当为第一个或最后一个点）或两个节点决定， 所以维护一个二维数组，保存到达每个节点的最小路径值，通过递推式求出所有的点的最小路径值，然后返回最后一层的最小值就是目标值了

//递推式可以很容易看出
//中间点
minPath[i][j] = min(minPath[i-1][j-1] + triangle[i][j], minPath[i-1][j] + triangle[i][j]);

代码及注释

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
    	//minPath 表示走到当前点的最小路径
        vector<vector<int>> minPath = triangle;
        int n = triangle.size();
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
               //当计算节点是头结点或者尾节点时，走到此节点的路径只有一个
                if (j == 0) {
                    minPath[i][j] = minPath[i - 1][j] + triangle[i][j];
                } else if (j == i) {
                    minPath[i][j] = minPath[i - 1][j - 1] + triangle[i][j];
                } else {
                	//当非头尾节点的时候， 走到节点的方式有两种
                     minPath[i][j] = min(minPath[i-1][j-1] + triangle[i][j], minPath[i-1][j] + triangle[i][j]);
                }
            }
        }
        //返回最后一层节点的最小路径的最小值 即目标值
        return *min_element(minPath[n-1].begin(), minPath[n-1].end());
        
    }
};

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解决代码（二） 空间复杂度为O(N)

解决思路

题目给了提示， 可以优化到空间为O(N)

其实不需要存所有的点， 或者说有些点用完后就不会在用了， 比如我算第三层， 那么第一层的值就用不到了， 所以我们只需维护两个个大小为N数组 保存当前层和上一层就可以优化到O（N）了！

基本想法和解法1 相同， 就不给出代码了

解决代码（三）自底向上

解法二准确来说还是用了2个数组O(2N)， 是否能用一个数组来解决问题呢？

解决思路

因为上一层的每个点到下一层都有两种方式，通过反推，由最后一层一直推到第一层。

有递推式

minPath[i] = 当前点值 + min（上一层的左边点值， 上一层的右边点值）

代码如下

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) 
    {
        vector<int> minPath= triangle[triangle.size()-1];
        for ( int i = triangle.size() - 2; i>= 0 ; --i )
            for ( int j = 0; j < triangle[i].size() ; ++ j )
                minPath[j] = triangle[i][j] + min(minPath[j],minPath[j+1]);
        return minPath[0];
    }
};
```x