【经典算法】第七回：堆排序

1.概述

堆排序（Heap Sort）就是利用堆（假设利用大顶堆）进行排序的方法。

原理：将待排序的序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根结点，将 它移走（其实就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的n-1个序列重新构造成一个堆，这样就会得到n个元素中的次小值。，如此反复执行，便能得到一个有序序列了，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)。

1.1 什么是堆

这里的堆(二叉堆),指得不是堆栈的那个堆,而是一种数据结构。堆可以视为一棵完全的二叉树,完全二叉树的一个“优秀”的性质是,除了最底层之外,每一层都是满的,这使得堆可以利用数组来表示,每一个结点对应数组中的一个元素.
数组与堆之间的关系

二叉堆一般分为两种：最大堆和最小堆。

1.2 什么是最大堆

堆中每个父节点的元素值都大于等于其孩子结点（如果存在）,这样的堆就是一个最大堆，因此,最大堆中的最大元素值出现在根结点(堆顶)

1.3 节点与数组索引关系

对于给定的某个结点的下标i，可以很容易的计算出这个结点的父结点、孩子结点的下标，而且计算公式很漂亮很简约

1.4 调整过程

在4,14,7这个小堆里边,父节点4小于左孩子14,所以两者交换，在4,2,8这个小堆里边,父节点4小于右孩子8,所以两者交换

上图展示了一趟调整的过程,这个过程递归实现,直到调整为最大堆为止。

1.5 整个堆排序过程

堆排序就是把堆顶的最大数取出,将剩余的堆继续调整为最大堆,以递归实现，剩余部分调整为最大堆后,再次将堆顶的最大数取出,再将剩余部分调整为最大堆,这个过程持续到剩余数只有一个时结束。下边三张图详细描述了整个过程。

2.示例

        //堆排序
        public static void HeapSort(int[] arr)
        {
            BuildMaxHeap(arr);

            for (int i = (arr.Length - 1); i > 0; i--)
            {
                //将堆顶元素和无序区的最后一个元素交换 
                int temp = arr[i];
                arr[i] = arr[0];
                arr[0] = temp;
                MaxHeaping(arr, 0, i); //将新的无序区调整为堆  
            }
        }
        /// <summary>  
        /// 初始化大根堆，由底向上建堆  
        /// 完全二叉树的基本性质，最底层节点是n/2，所以从arr.Length/2开始  
        /// </summary>  
        private static void BuildMaxHeap(int[] arr)
        {
            for (int i = (arr.Length / 2) - 1; i >= 0; i--)
            {
                MaxHeaping(arr, i, arr.Length);
            }
        }
        /// <summary>  
        /// 将指定的节点调整为堆  
        /// </summary>  
        /// <param name="i">需要调整的节点</param>  
        /// <param name="heapSize">堆的大小，也指数组中无序区的长度</param>  
        private static void MaxHeaping(int[] arr, int i, int heapSize)
        {
            int left = 2 * i + 1; // 左子节点  
            int right = 2 * i + 2; // 右子节点  
            int large = i; // 临时变量，存放大的节点值  

            if (left < heapSize && arr[left] > arr[large])
            {
                large = left;
            }
            // 比较右子节点  
            if (right < heapSize && arr[right] > arr[large])
            {
                large = right;
            }
            // 如有子节点大于自身就交换，使大的元素上移  
            if (i != large)
            {
                int temp = arr[i];
                arr[i] = arr[large];
                arr[large] = temp; ;
                MaxHeaping(arr, large, heapSize);
            }
        }
        // int[] list = new[] { 16, 14, 10, 8, 7, 9, 3, 2, 4, 1 };
        // Sorter.HeapSort(list);

 参考：http://blog.kingsamchen.com/archives/547#viewSource