- 题库 ：洛谷
- 题号 ：1967
- 题目 ：货车运输
- link ：https://www.luogu.com.cn/problem/P1967
Updata 1.22：附上树链剖分的代码，https://paste.ubuntu.com/p/JyQvXW9yxP/
前置知识 ：
- $kruskal$ ：https://www.cnblogs.com/qqq1112/p/11574876.html
- $lca$ ：https://www.cnblogs.com/qqq1112/p/11448165.html
思路：
- $step1$：
观察题目，发现司机们并不管送货路程的远近，只管能装货物的总数。如果有一条比较远的路，但能装货物的总量更大，司机还是会绕道走的。由此来看，一些较小的边是不会被走到的（除了没有其他路可走），于是我们只需要在保证在没有破坏图的连通性的条件下（但题目没说图一开始就是连通的）删掉较小的边。完成以上操作，我们只需先建立一个最大生成树即可（注意先把图的数据存起来，然后边跑 $kruskal$ 边将确定的边再连上），其实也是方便完成 $step2$ 的操作罢了。
操作方式 ：处理最大生成树的方法和处理最小生成树的方法等同（千万不要把 $cmp$ 里的大于号小于号给写反了），只不过要在 $kruskal$ 中把已经确定的边连上，$warning$ —— 是双向边。
- $step2$：
处理完了图的操作后，我们思考如何将司机所能运输的最大载货量给求出来，同时，看数据，加上外层的一层循环，只能用 $log(n)$ 的复杂度求出路径上的距离， $lca$ 恰恰是如此。在处理点深度和父节点时，可以像 $fa[u][i]$ 一样建立一个 $q[u][i]$ ，表示从$u$到$u$的第 $2$i 个祖先上的路径的最小边权是多少（但这里边权存在深度较深的那个节点上面了）。然后边跑 $lca$ 在起点和终点向上“跳”时进行更新 $ans$，及 $ans$ $=$ $min(ans$, $min(q[x][i]$, $q[y][i]))$，还有在 $x$，$y$中较深的节点向上“跳”时，也需要更新 $ans$，及 $ans$ $=$ $min(ans$, $q[u][i])$。当然，在初始化深度和 $fa$ 数组的时候，也需要处理一下 $q$ 数组的初始化，及 $q[u][i]$ $=$ $min(q[u][i$ $-$ $1]$, $q[fa[u][i$ $-$ $1]][i$ $-$ $1])$。然后，就只需要边跑 $lca$ 边更新答案就好了。
操作方式 ：正常 $lca$ $+$ 更新 $q$ 数组与 $ans$。
- $code$：
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define INF 0x3f3f3f3f 3 using namespace std; 4 int n, m, p, head[1000001], num, depth[1000001], fa[1000001][21], q[1000001][21], Fa[1000001], size[1000001];//size数组是按秩合并里需要的，可以不管 5 struct Node 6 { 7 int next, to, val; 8 }stu[2000001]; 9 struct node 10 { 11 int x, y, z; 12 }tree[2000001];//kruskal里需要用到的数组 13 inline int cmp(node a, node b) 14 { 15 return a.z > b.z; 16 } 17 inline void add(int x, int y, int z)//加边 18 { 19 stu[++num].next = head[x]; 20 stu[num].to = y; 21 stu[num].val = z; 22 head[x] = num; 23 return; 24 } 25 inline int find(int x)//查找 26 { 27 return Fa[x] == x ? Fa[x] : Fa[x] = find(Fa[x]); 28 } 29 inline void unity(int x, int y)//按秩合并 30 { 31 int r1 = find(x); 32 int r2 = find(y); 33 if(size[r1] > size[r2]) 34 { 35 Fa[r2] = r1; 36 size[r1] += size[r2]; 37 } 38 else 39 { 40 Fa[r1] = r2; 41 size[r2] += size[r1]; 42 } 43 return; 44 } 45 inline void kruskal()//最大生成树 46 { 47 int k = 0; 48 sort(tree + 1, tree + m + 1, cmp); 49 for(register int i = 1; i <= m; ++i) 50 { 51 if(find(tree[i].x) != find(tree[i].y)) 52 { 53 unity(tree[i].x, tree[i].y); 54 add(tree[i].x, tree[i].y, tree[i].z); 55 add(tree[i].y, tree[i].x, tree[i].z); 56 ++k; 57 if(k == n - 1) 58 { 59 return; 60 } 61 } 62 } 63 return; 64 } 65 inline void dfs(int u, int father, int value)//value是边权，存在深度深的节点上面 66 { 67 fa[u][0] = father; 68 q[u][0] = value; 69 depth[u] = depth[father] + 1; 70 int maxn = ceil(log(depth[u]) / log(2)); 71 for(register int i = 1; i <= maxn; ++i) 72 { 73 fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1]; 74 q[u][i] = min(q[u][i - 1], q[fa[u][i - 1]][i - 1]); 75 } 76 for(register int i = head[u]; i; i = stu[i].next) 77 { 78 int k = stu[i].to; 79 if(k != father) 80 { 81 dfs(k, u, stu[i].val); 82 } 83 } 84 return; 85 } 86 inline void up(int &u, int step, int &ans)//将深度跳到相同位置 87 { 88 int maxn = ceil(log(depth[u]) / log(2)); 89 for(register int i = 0; i <= maxn; ++i) 90 { 91 if(step & (1 << i)) 92 { 93 ans = min(ans, q[u][i]); 94 u = fa[u][i]; 95 } 96 } 97 return; 98 } 99 inline int lca(int x, int y)//lca 100 { 101 if(find(x) != find(y))//不相连 102 { 103 return -1; 104 } 105 int ans = INF; 106 if(depth[x] < depth[y]) 107 { 108 swap(x, y); 109 } 110 up(x, depth[x] - depth[y], ans); 111 if(x == y) 112 { 113 return ans; 114 } 115 int maxn = ceil(log(depth[x]) / log(2)); 116 for(register int i = maxn; i >= 0; --i) 117 { 118 if(fa[x][i] != fa[y][i]) 119 { 120 ans = min(ans, min(q[x][i], q[y][i])); 121 x = fa[x][i]; 122 y = fa[y][i]; 123 } 124 } 125 return min(ans, min(q[x][0], q[y][0]));//最后父节点别忘了 126 } 127 signed main() 128 { 129 scanf("%d %d", &n, &m); 130 for(register int i = 1; i <= n; ++i) 131 { 132 Fa[i] = i; 133 size[i] = 1; 134 } 135 for(register int i = 1, x, y, z; i <= m; ++i) 136 { 137 scanf("%d %d %d", &tree[i].x, &tree[i].y, &tree[i].z); 138 } 139 kruskal(); 140 for(register int i = 1; i <= n; ++i)//注意该图可能不连通，于是需要多次dfs初始化 141 { 142 if(!depth[i]) 143 { 144 dfs(i, 0, INF); 145 } 146 } 147 scanf("%d", &p); 148 for(register int i = 1, x, y; i <= p; ++i) 149 { 150 scanf("%d %d", &x, &y); 151 printf("%d ", lca(x, y)); 152 } 153 return 0; 154 }