洛谷 P3306 【随机数生成器】

• 题库：洛谷
• 题号：3306
• 题目：随机数生成器
• link：https://www.luogu.com.cn/problem/P3306

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观察题目，易得出暴力代码，但是会TLE，只能得20pts

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int T;
ll a, b, x1, t, p, ans;
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        ans = 0;
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &p, &a, &b, &x1, &t);
        while(233)
        {
            ++ans;
            if(ans > p)
            {
                puts("-1");
                break;
            }
            if(x1 == t)
            {
                printf("%lld
", ans);
                break;
            }
            x1 = (x1 * a + b) % p;
        }
    }
    return 0;
}

考虑展开式子。

由$x[i$ $+$ $1]$ $≡$ $a$ $*$ $x[i]$ $+$ $b$ $(mod$ $p)$得

$x[1]$ $=$ $x1$ $\%$ $p;$

$x[2]$ $=$ $(a$ $*$ $x1$ $+$ $b)$ $\%$ $p;$

$x[3]$ $=$ $(a$² $*$ $x1$ $+$ $a$ $*$ $b$ $+$ $b)$ $\%$ $p;$

$x[4]$ $=$ $(a$³ $*$ $x1$ $+$ $a$² $*$ $b$ $+$ $a$ $*$ $b$ $+$ $b)$ $\%$ $p;$

$x[5]$ $=$ $(a$⁴ $*$ $x1$ $+$ $a$³ $*$ $b$ $+$ $a$² $*$ $b$ $+$ $a$ $*$ $b$ $+$ $b)$ $\%$ $p;$

$……$

$x[k]$ $=$ $(a$^{k - 1} $*$ $x1$ $+$ $a$^{k - 2} $*$ $b$ $+$ $a$^{k - 3} $*$ $b$ $+$ $......$ $+$ $a$² $*$ $b$ $+$ $a$ $*$ $b$ $+$ $b)$ $\%$ $p;$

题目中求在第几天看到了第$t$页，如果永远也看不到就输出$-1$，否则输出最早的一天。

不妨设在第$k$天看到了第$t$页，于是可得方程：

$x[k]$ $≡$ $t$ $(mod$ $p);$

$a$^{k - 1} $*$ $x1$ $+$ $a$^{k - 2} $*$ $b$ $+$ $a$^{k - 3} $*$ $b$ $+$ $......$ $+$ $a$² $*$ $b$ $+$ $a$ $*$ $b$ + $b$ $≡$ $t$ $(mod$ $p);$

其中，$a、x1、b、t、p$已知，求解$k$的值。

先不看第一项$a$^{k - 1} $*$ $x1$，容易发现其余项是一个等比数列。

提出$b$：

$a$^{k - 1} $*$ $x1$ $+$ $b$ $*$ $(a$^{k - 2} $+$ $a$^{k - 3} $+$ $......$ $+$ $a$² $+$ $a$ $+$ $1)$ $≡$ $t$ $(mod$ $p);$

求解$a$^{k - 2} $+$ $a$^{k - 3} $+$ $......$ $+$ $a$² $+$ $a$ $+$ $1$的值可以代入等比数列求和公式。

解得：

当$a$ $=$ $1$时，原式 $=$ $k$ $-$ $1$;

当$a$ $≠$ $1$时，原式 $=$ $(1$ $-$ $a$^{k - 1}) $/$ $(1$ $-$ $a);$

代入原方程可得：

当$a$ $=$ $1$时，原方程为：

$x1$ $+$ $b$ $*$ $(k$ $-$ $1)$ $≡$ $t$ $(mod$ $p);$

$x1$ $+$ $bk$ $-$ $b$ $≡$ $t$ $(mod$ $p);$

$bk$ $≡$ $t$ $+$ $b$ - $x1$ $(mod$ $p);$

当$a$ $≠$ $1$时，原方程为：

$a$^{k - 1} $*$ $x1$ $+$ $b$ $*$ $(1$ $-$ $a$^{k - 1}$)$ $/$ $(1$ $-$ $a)$ $≡$ $t$ $(mod$ $p);$

$a$^{k - 1} $*$ $x1$ $*$ $(1$ $-$ $a)$ $+$ $b$ $*$ $(1$ $-$ $a$^{k - 1}$)$ $≡$ $t$ $*$ $(1$ $-$ $a)$ $(mod$ $p);$

$a$^{k - 1} $*$ $(x1$ $-$ $x1$ $*$ $a)$ $+$ $b$ $-$ $b$ $*$ $a$^{k - 1} $≡$ $t$ $-$ $t$ $*$ $a$ $(mod$ $p);$

$a$^{k - 1} $*$ $(x1$ $-$ $x1$ $*$ $a$ $-$ $b)$ $≡$ $t$ $-$ $t$ $*$ $a$ $-$ $b$ $(mod$ $p);$

$a$^{k - 1} $≡$ $(t$ $-$ $t$ $*$ $a$ $-$ $b)$ $*$ $(x1$ $-$ $x1$ $*$ $a$ $-$ $b)$^-1 $(mod$ $p);$（这里的$-1$次方表示逆元）

整理得：

当$a$ $=$ $1$时，$bk$ $≡$ $t$ $+$ $b$ $-$ $x1$ $(mod$ $p);$

当$a$ $≠$ $1$时，$a$^{k - 1} $≡$ $(t$ $-$ $t$ $*$ $a$ $-$ $b)$ $*$ $(x1$ $-$ $x1$ $*$ $a$ $-$ $b)$^-1 $(mod$ $p);$

易看出：

当$a$ $=$ $1$时，可以用$exgcd$求解出$k$;

当$a$ $≠$ $1$时，可以用$BSGS$求解出$k$;

有一些需要特判的坑点在代码里：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long 
using namespace std;
int T;
ll a, b, p, x, y, ps, d, x1, t;
map < ll, ll > mp;
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(!b) x = 1, y = 0, d = a;
    else exgcd(b, a % b, y, x), y -= x * (a / b);
    return;
}
ll ksm(ll x, ll y, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    for(; y; y >>= 1)
    {
        if(y & 1) ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod;
    }
    return ans;
}
ll bsgs(ll a, ll b, ll p)
{
    mp.clear();//记得清空 
    b = (b % p + p) % p;//b可能是负数 
    if(a == b) return 1;//特判a == b 
    ps = ceil((double)sqrt(p));
    exgcd(ksm(a, ps, p), p, x, y);
    x = (x % p + p) % p;
    mp[1] = 0;
    for(int i = 1, t = a; i <= ps; ++i, t = t * a % p) if(!mp[t]) mp[t] = i;//这里要求先输出最先读到的那一天所以要判空 
    for(int i = 0, xx = 1; i <= ps; ++i, xx = xx * x % p)
    {
        if(b * xx % p == 1) return ps * i;//这里由于我前面设了mp[1] = 0所以要特判一下 
        if(mp[b * xx % p]) return ps * i + mp[b * xx % p];
    }
    return -1;
}
int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &p, &a, &b, &x1, &t);
        if(t == x1)//特判 
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        if(a == 0)//特判 
        {
            if(t == b) puts("2");
            else puts("-1");
            continue;
        }
        if(a == 1)//exgcd求 
        {
            ll c = t + b - x1;
            c = (c % p + p) % p;//先取模 
            if(!c)//c = 0直接输出p就是了，具体为什么自己把c = 0的式子带进去推 
            {
                printf("%lld
", p);
                continue;
            } 
            exgcd(b, p, x, y);
            x =    (x % p + p) % p;
            if(c % d != 0) puts("-1");
            else printf("%lld
", (x * c / d % p + p) % p);
            continue;
        }//bsgs求 
        exgcd(((x1 - x1 * a - b) % p + p) % p, p, x, y);
        x = (x % p + p) % p;
        ll tt = bsgs(a, t * x - t * a % p * x - b * x, p);//三连乘别忘了取模 
        if(tt != -1) printf("%lld
", tt + 1);
        else puts("-1");
    }
    return 0;
}

 调试代码所用的bat：

:begin
maker.exe > P3306.in
随机数生成器.exe < P3306.in > P3306.out
brute.exe < P3306.in > P3306.ans
fc P3306.out P3306.ans
if not errorlevel = 1 goto begin
pause

brute就是上面的暴力，maker就是我自己写的一个数据生成器。