And Then There Was One

题目link：https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1394

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Part0：

题意简化：

约瑟夫问题。

给定 $n$ 个编号由 $1$ $ ext{~}$ $n$ 的人，最开始杀掉第 $m$ 个人，接着每数 $k$ 个人就杀掉最后数到的那个，求最后剩下的人的编号。

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Part1：

首先容易得出一个 $O(n^2)$ 的用数组循环暴力模拟的算法，但是发现这个算法会枚举到已经死掉的人，因此考虑用链表优化。

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Part2：

链表可以 $O(1)$ 进行删除，因此可以 $O(nk)$ 地解决这个问题，但是显然 $n$，$k$ 最大为 $10^4$，$O(nk)$ 过不了此题，所以考虑用递推解决。

这里也给出链表做法的代码：

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e4;

int n, k, m;

struct Node {
    int nxt, pre, val, dead;
}lst[MAXN + 10];

void remove(int id) {

    lst[id].dead = 1;
    lst[lst[id].nxt].pre = lst[id].pre;
    lst[lst[id].pre].nxt = lst[id].nxt;

    return;
}

int main() {

    while(233) {

        scanf("%d %d %d", &n, &k, &m);
        if(!n && !k && !m) return 0;

        for(int i = 1; i <= MAXN; ++i) {
            lst[i].dead = 0, lst[i].nxt = 0, lst[i].pre = 0, lst[i].val = 0;
        }
        lst[1].nxt = 2, lst[1].pre = n, lst[1].val = 1;
        lst[n].nxt = 1, lst[n].pre = n - 1, lst[n].val = n;
        for(int i = 2; i < n; ++i) {
            lst[i].pre = i - 1, lst[i].nxt = i + 1, lst[i].val = i;
        }

        remove(m);
        int numKill = 1;
        int lastKill = m;
        while(++numKill != n) {
            for(int i = 1; i <= k; ++i) {
                lastKill = lst[lastKill].nxt;
            }
            remove(lastKill);
        }

        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            if(!lst[i].dead) {
                printf("%d
", i);
                break;
            }
        }

    }

    return 0;
}

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Part3：

设 $f_i$ 表示 $i$ 个编号为 $ ext{0 ~ i - 1}$ 的人，每次都数到 $k$ 就杀（注意这里是先杀 $k$ $-$ $1$ 不是先杀 $m$ $-$ $1$ 且 为了方便，编号换了一下）。

则递推式为：

$f_i$ $=$ $(f_{i - 1}$ $+$ $k)$ $\%$ $i;$

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Part3.1：

举个例子：

对于一个 $ ext{n = 6，k = 3}$ 的例子。

容易发现第一个死掉的人就是 $ ext{2}$ 号。

以此类推容易得出最后剩下的人就是 $ ext{0}$ 号。

那么对于一个 $ ext{n = 5，k = 3}$ 的例子。

 容易得出第一个死的人还是 $ ext{2}$ 号。

 以此类推可以得出最后剩下的人就是 $ ext{3}$ 号。

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Part3.2：

对递推式的理解为，在 $ ext{n = 6，k = 3}$ 的图上杀掉第一个人 $ ext{2}$ 号时，从 $ ext{2}$ 号的下一个 $ ext{3}$ 号开始从 $0$ 顺序重新编号。

这样一来，容易发现新的编号（蓝色编号），比原来的编号都大了 $k$，而这个新的编号恰好就是 $ ext{n = 5，k = 3}$ 时的图，因此得到 $ ext{n = 5，k = 3}$ 时的解，就可以用那个解 $ ext{+ k}$ 再 $ ext{% n(n = 6)}$ 得到 $ ext{n = 6，k = 3}$ 时的解，如此得到上面的那个递推式也就顺理成章了。

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Part4：

但是得到这个递推式后还需要一些修改，因为此题的编号是 $ ext{1 ~ n}$ 而不是 $ ext{0 ~ n - 1}$，杀掉的第一个人是 $m$ 而不是 $k$，具体细节详见代码。

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code：

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e4;

int n, k, m, f[MAXN + 10];

int main() {
    
    while(233) {
        scanf("%d %d %d", &n, &k, &m);
        if(!n && !k && !m) return 0;
        f[1] = 0;
        for(int i = 2; i <= n; ++i) {
            f[i] = (f[i - 1] + k) % i;
        }
        printf("%d
", (((f[n] + (m - k))) % n + n) % n + 1);
    }

    return 0;
}