Selection Problem （选择问题）

　　在一个由n个元素组成的集合中，第i个“顺序统计量（order statistic）”是该集合中第i小的元素。例如，在一个由n个元素组成的集合中，最小值是第1个顺序统计量，最大值是第n个顺序统计量。而“中位数（median）”总是出现在low((n+1)/2)或者high((n+1)/2)处，其中low是向下取整（“下中位数”），high是向上取整（“上中位数”），当n为奇数的时候，只有“下中位数”，而n为偶数的时候，同时有“下中位数”和“上中位数”。

选择问题的定义如下。
　　输入：一个包含n个不同的数的集合A和一个数i，i属于范围[1,n]
　　输出：集合A中的一个元素x，x恰好大于A中的其他i-1个元素

通过排序的方法可以解决这个问题，比如堆排序、归并排序。时间可以达到O(n*lg(n))

　

下面讨论一个实用的算法，平均情况下运行时间为O(n)

　　此程序利用了快速排序的partition子程序（随机选择pivot的版本），因为partition总是把比pivot小的划分到左边，比pivot大的划分到右边，所以利用这一点（但是randomizedSelect不会向快速排序一样递归地处理划分出来的两边，而是只处理左边或者右边，因此要更快一些）完成选择。

　　此算法平均性能比较好，因为是随机化的划分，不会有哪一组特定的输入导致其最坏情况的发生。

　　平均时间是O(n)，最坏时间是O(n^2)

实现代码如下：

package algorithms;

import java.util.Arrays;
import java.util.Random;
public class SelectionProblem {
    
    //static StringBuilder logger = new StringBuilder(); // debug
    //static String NEWLINE = "
"; // debug
    
    /**
     * @param a the array
     * @param low the lower bound (inclusive)
     * @param high the upper bound (exclusive)
     * @param i indicate that the i-th order statistic is our target, i starts from 1
     * @return the i-th order statistic
     * */
    public static <T extends Comparable<T>>
    T randomizedSelect(T[] a, int low, int high, int i) {
        --high; // high the upper bound (exclusive)
        return _randomizedSelect(a, low, high, i);
    }
    
    private static <T extends Comparable<T>>
    T _randomizedSelect(T[] a, int low, int high, int i) {
        if (low == high) {
            return a[low]; // target found
        }
        // else, partition
        int pivot = randomizedPartition(a, low, high);
        int k = pivot - low + 1;
        if (k == i) { // if pivot is our target
            return a[pivot];
        } else if (k > i) { // if pivot is too large
            return _randomizedSelect(a, low, pivot-1, i);
        } else { // if pivot is too small
            return _randomizedSelect(a, pivot+1, high, i-k);
        }
    }
    
    private static <T extends Comparable<T>>
    int randomizedPartition(T[] a, int low, int high) {
        int pivotIndex = randomIndex(low, high+1);
        // logger.append("pivotIndex:"+pivotIndex+NEWLINE); // debug
        return Partition.doPartition(a, low, high+1, pivotIndex);
    }
    
    private static final Random random = new Random();
    // low (inclusive), high (exclusive)
    private static int randomIndex(int low, int high) {
        if (high==low) {
            return low;
        }
        return random.nextInt(high-low) + low;
    }
    
    // test
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] a = new Integer[]{29, 36, 44, 12, 29, 24, 28, 74, 54, 56};
        System.out.println(Arrays.toString(a));
        Integer result = SelectionProblem.randomizedSelect(a, 0, a.length, 10);
        //if (result != 36) { // debug
        //    System.out.println(logger); // debug
        //} // debug
        System.out.println("result:"+result);
        //System.out.println(Arrays.toString(a)); // debug
        QuickSort.sort(a, 0, a.length);
        System.out.println(Arrays.toString(a));
    }
    
}