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  • 传纸条

    Description

    小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个m行n列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标(1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

    在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

    还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用0表示),可以用一个0-100的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

    Analysis

    如果只有一条传递路径,那么就是带权过河卒问题。可是有两条不重叠的路径,如果先找最短再找不重叠的肯定不行,只能两条路径一起扩展,为了防止重叠,需要确保转移的过程中绝对不会出现两条路径坐标相同的情况。既然如此,开4维记录两条路径当前坐标,因为同时扩展,所以步数相同,那么可以省去一维,一维记录横纵坐标和,两维分别记录两条路径横坐标,只要扩展时避过横坐标相等即可。转移方程很好写,共有四种转移方式。

    dp[i][j][k]=s[j][i-j]+s[k][i-k]+max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-1][k-1],dp[i-1][j-1][k],dp[i-1][j][k-1])
    

    Code

    #include <bits/stdc++.h>
    
    int n,m,s[101][101],dp[101][101][101];
    
    int main(){
    	freopen("message.in","r",stdin);
    	freopen("message.ans","w",stdout);
    	std::cin>>n>>m;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		for(int j=1;j<=m;j++)	
    			std::cin>>s[i][j];
    	for(int i=3;i<=m+n;i++)
    		for(int j=1;j<=std::min(i-1,n);j++)
    			for(int k=1;k<=std::min(i-1,n);k++){
    				if(i<m+n&&j==k)continue;
    				dp[i][j][k]=std::max(dp[i-1][j][k],dp[i-1][j-1][k-1]);
    				if(j-1!=k)dp[i][j][k]=std::max(dp[i][j][k],dp[i-1][j-1][k]);
    				if(k-1!=j)dp[i][j][k]=std::max(dp[i][j][k],dp[i-1][j][k-1]);
    				dp[i][j][k]+=s[j][i-j]+s[k][i-k];
    			}
    	std::cout<<dp[m+n][n][n]<<std::endl;
    	return 0;
    }
    
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