浅谈对ST表的一些理解

今天打了人生第一道ST表题(其实只是ST表跑得最快);

ST表是一种用来解决RMQ问题的利器。。。

大体操作有两步：

第一部分nlogn预处理

第二部分O(1)询问

预处理就是运用倍增+区间动规

ST表使用DP思想求解区间最值，貌似属于区间动态规划，不过区间在增加时，每次并不是增加一个长度，而是使用倍增的思想，每次增加2^i个长度。

使用F[i,j]表示以i为起点，区间长度为2^j的区间最值，此时区间为[i,i + 2^j - 1]。

比如，F[0,2]表示区间[0,3]的最值，F[2,2]表示区间[2,5]的最值。

在求解F[i,j]时，ST算法是先对长度为2^j的区间[i,i + 2^j - 1]分成两等份，每份长度均为2^(j - 1)。之后在分别求解这两个区间的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。，最后在结合这两个区间的最值，求出整个区间的最值。

状态转移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])

初始状态为：F[i,0] = A[i]。

代码如下：

void makeST()
{
  pre[0]=1;for(int i=1;i<=20;i++) pre[i]=pre[i-1]<<1;
  pre2[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++) pre2[i]=pre2[i>>1]+1;
  for(int i=1;i<=n;i++) ST[i][0]=i;
  for(int j=1;j<=20;j++)
    for(int i=1;i<=n;i++){
      if(i+pre[j]-1<=n){
       int x1=ST[i][j-1],x2=ST[i+pre[j-1]][j-1];
       if(a[x1]>a[x2]) ST[i][j]=x1;
       else ST[i][j]=x2;
      }
    }
}

一开始打错了好多个地方！！！醉了！！！

1.要把20的循环放在外面，手贱打错了。。。

2.pre2数组是用来支持询问的。。。相当于是logi,所以是for(1--n);

询问操作：

在预处理期间，每一个状态对应的区间长度都为2^i。由于给出的待查询区间长度不一定恰好为2^i，因此我们应对待查询的区间进行处理。

这里我们把待查询的区间分成两个小区间，这两个小区间满足两个条件：（1）这两个小区间要能覆盖整个区间（2）为了利用预处理的结果，要求小区间长度相等且都为2^i。注意两个小区间可能重叠。

在程序计算求解区间长度时，并没有那么麻烦，我们可以直接得到i，即等于直接对区间长度取以2为底的对数。这里，对于区间[3,11]，其分解的区间长度为int（log(11 - 3 + 1)） = 3，这里log是以2为底的。

根据上述思想，可以把待查询区间[x，y]分成两个小区间[x，x + 2^i - 1] 和 [y - 2^i + 1，y] ，其又分别对应着F[x,i]和F[y - 2^i + 1,i]，此时为了求解整个区间的最小值，我们只需求这两个值得最小值即可，此时复杂度是O(1)。

注意细节要加1。。。

代码实现如下：

int query(int l,int r)
{
  if(l==r)return l;
  int x=pre2[r-l+1];
  int x1=ST[l][x],x2=ST[r-pre[x]+1][x];
  return a[x1]>a[x2]?x1:x2;
}