bzoj 3675: [Apio2014]序列分割

Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

Source

又是一道Apio 的划分型DP。。。

这题由大胆猜想加上小学数学可以发现只要划分的方案确定后，划分的顺序不一样并不会改变答案

然后我们设f[i][k]表示以i为一个分割点已经分了k个的最优值。。。

然后f[i][k]=max(f[j][k-1]+(a[i]-a[j])*(a[n]-a[i]))；

然后ans再在f[i][k]中扫一遍取最大值。。。

然后我么可以知道这是一个经典的决策单调性方程。。。

然后愉快地打了一个二分栈，然后因为没有滚直接MLE，然后滚了之后TLE了。。

然后我就真TMD rand 了一个极限数据，11sGG！！！

然后 k*n*logn萎飞。。。

然后未解决。。。

斜率优化在下面

 1 // MADE BY QT666
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<iostream>
 6 #include<queue>
 7 #include<set>
 8 #include<cstdlib>
 9 #include<cstring>
10 #include<string>
11 #include<ctime>
12 #define lson num<<1
13 #define rson num<<1|1
14 #define int unsigned long long
15 #define RG register
16 #define inl inline
17 using namespace std;
18 const int N=100050;
19 struct data{int l,r,p;}q[N];
20 inl int gi()
21 {
22   RG int x=0,flag=1;
23   RG char ch=getchar();
24   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
25   while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
26   return x*flag;
27 }
28 int f[N][2],a[N],n,k;
29 inl int cal(int j,int i,int k){
30     
31     return f[j][k]+(a[i]-a[j])*(a[n]-a[i]);
32 }
33 inl int find(data t,int x,int k)
34 {
35     RG int l=t.l,r=t.r;
36     while(l<=r){
37         RG int mid=(l+r)>>1;
38         if(cal(t.p,mid,k)>cal(x,mid,k))
39             l=mid+1;
40         else r=mid-1;
41     }
42     return l;
43 }
44 main()
45 {
46     n=gi(),k=gi();
47     for(RG int i=1;i<=n;i++) a[i]=gi(),a[i]+=a[i-1];
48     RG int now=0;
49     for(RG int i=1;i<=k;i++){
50         RG int head=1,tail=0;now^=1;
51         q[++tail]=(data){0,n,0};
52         for(RG int j=0;j<=n;j++){
53             if(head<=tail&&j>q[head].r) head++;
54             f[j][now]=cal(q[head].p,j,now^1);
55             if(head>tail||cal(j,n,now^1)>=cal(q[tail].p,n,now^1)){
56                 while(head<=tail&cal(j,q[tail].l,now^1)>=cal(q[tail].p,q[tail].l,now^1))
57                     tail--;
58                 if(head>tail)
59                     q[++tail]=(data){j,n,j};
60                 else{
61                     int t=find(q[tail],j,now^1);
62                     q[tail].r=t-1;
63                     q[++tail]=(data){t,n,j};
64                 }
65             }
66         }
67     }
68     RG int ans=0;
69     for(RG int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,f[i][now]);
70     printf("%llu",ans);
71 }

不多说,线就是简洁明了

f[j][k]+(a[i]-a[j])*(a[n]-a[i])
f[j][k]+a[i]*a[n]-a[i]*a[i]-a[j]*a[n]+a[j]*a[i];
f[j][k]+a[n]*(a[i]-a[j])-a[i]*a[i]+a[j]*a[i];
f[j][k]-a[n]*a[j]+a[n]*a[i]-a[i]*a[i]+a[j]*a[i];
b=f[j][k]-a[n]*a[j],x=a[i],k=a[j],常数a[n]*a[i]-a[i]*a[i];
k和x都是单增的...

直接用普通斜率优化+滚动数组即可

// MADE BY QT666
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#define lson num<<1
#define rson num<<1|1
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
int gi()
{
  int x=0,flag=1;
  char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return x*flag;
}
int f[N][2],a[N],k,n;
struct data{int k,x,b;}g[N],q[N];
main()
{
    n=gi(),k=gi();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=gi()+a[i-1],g[i].k=a[i],g[i].x=a[i];
    int now=0;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        now^=1;int head=1,tail=0;
        for(int i=0;i<=n;i++){
            while(head<tail&&q[head].k*g[i].x+q[head].b<=q[head+1].k*g[i].x+q[head+1].b)
                head++;
            f[i][now]=max(f[i][now],q[head].k*g[i].x+q[head].b+a[n]*a[i]-a[i]*a[i]);
            g[i].b=f[i][now^1]-a[n]*a[i];
            while(head<tail&&(g[i].k-q[tail-1].k)*(q[tail-1].b-q[tail].b)>=(q[tail].k-q[tail-1].k)*(q[tail-1].b-g[i].b))
               tail--;
            q[++tail]=g[i];
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(f[i][now],ans);
    printf("%lld",ans);
}