第二章-递归与分治策略

第一题：

问题名称：整数划分问题。

问题描述：正整数n可以表示为一系列正整数之和：n = n1 + n2 + ... + nk (k>=1, n1>=n2>=nk )，则称这种表示为正整数n的划分，不同的这种表示的个数称为正整数n的划分数，记为p(n)。在所有划分中，将最大加数n1不大于m的划分数，记为q(n,m)。

问题分析：

q(n, m) =  1　　　　　　，当n = 1,m = 1;

　　　　　  q(n,n)　　　 ，当n < m；

　　　　　　1 + q(n,n-1)，当n = m；

　　　　　　q(n,m-1) + q(n-m,m)，当n>m>1

所以得出算法：

#include <stdio.h>

int Division(int n, int m);
void main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d
",Division(n, n));
}

int Division(int n, int m)
{
    if( ( n < 1 ) || ( m < 1 ) ) return 0;
    if( ( n == 1 ) || ( m == 1 ) ) return 1;
    if( n < m ) return Division(n, n);
    if( n == m ) return Division(n, m - 1 ) + 1;
    return Division(n, m - 1) + Division(n - m, m);
}

递归：

有重复元素的排列问题：

给定一个集合R={r1, ... , rn}，其中的元素可能相同。求R的所有不同的排列。

算法分析：

输出的排列有重复，是因为输入的集合可能含有重复的元素。首先要学会演算，在演算的过程中，可以发现，如果递归的每一层，对于不同的递归/排列（这个就要在isRepeat函数中理解了），出现重复元素，那么产生的两个分支是完全一样的。——所以出现重复元素，那么此次就不用排列了，因为前面已经有了。

设Ri=R-{ri}，集合X的全排列（所有排列）为Perm(X)，而(ri)Perm(Ri)表示在Perm(Ri)的所有排列前面加上ri。

所以，R的全排列可以定义为：

1. 1. 出口：当n=1时，Perm(R) = r 。
   2. 产生递归：当n>1时，Perm(R) = (r1)Perm(R1)，(r2)Perm(R2)，... ，(rn)Perm(Rn)组成。

输入：第一行为元素个数n，第二行为待排列的n个数。

输出：前面几行是所有的不同的排列，最后一行是排列的总数。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int permNumber = 0;

bool isRepeat(char *R, int i, int k)
{
    for (int j = k; j < i; j++)
    {
        if (R[i] == R[j])
            return true;
    }
    return false;
}

void Perm(char *R, int k, int m)
{
    if (k == m)        //到最后一个元素，出口
    {
        for (int i = 0; i <= m; i++)        //因为在递归的过程中，m为变换，所以就是传进来的n-1
        {
            cout << R[i];
        }
        cout << endl;
        permNumber++;
    }
    else
    {
        for (int i = k; i <= m; i++)
        {
            if (!isRepeat(R, i, k))
            {
                swap(R[k], R[i]);
                Perm(R, k + 1, m);        //k就代表递归层数，即指向数组的位置
                swap(R[k], R[i]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    char *R;
    cin >> n;
    R = new char[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> R[i];
    }

    cout << endl;

    Perm(R, 0, n - 1);
    cout << permNumber << endl;
    return 0;
}
/*测试数据：
输入：
4
aacc
输出：
aacc
acac
acca
caac
caca
ccaa
6
*/

集合划分问题：

一个n元集合{1，... ，n}，可以划分为若干个、由m个非空集合组成的非空子集，求出指定了m的非空子集的个数——将解设为f(n，m)。m应该在[1，n]内，规定：若m=0，则表示未指明m，输出所有的非空子集的个数。

输入：只有一行、两个数，第一个数为集合个数n、第二个数为m。

输出：当输入的m在[1，n]内时，输出为由m个非空集合组成的非空子集的个数；或者当m=0时，输出所有的非空子集的个数。

代码：

分治：分解——>求解——>合并。

数字计算问题中的分治法：

strassen矩阵乘法：

组合问题中的分治法：

棋盘覆盖问题：

排序问题中的分治法：

几何问题中的分治法：