【bzoj3240 && 洛谷P1397】矩阵游戏[NOI2013]（矩阵乘法+卡常）

---

　　题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3240

　　这道题其实有普通快速幂+费马小定理的解法……然而我太弱了，一开始只想到了矩阵乘法的方法。

　　首先定义两个矩阵：

　　$ A_{1} = egin{bmatrix} a & b \ 0 & 1 end{bmatrix} $
　　$ A_{2} = egin{bmatrix} c & d \ 0 & 1 end{bmatrix} $

　　于是我们就可以得到这样的式子：

　　$ egin{aligned}  egin{bmatrix} f_{n,m} \ 1 end{bmatrix} & = A_{1} egin{bmatrix} f_{n,m-1} \ 1 end{bmatrix} \ & = A_{1}^{m-1} egin{bmatrix} f_{n,1} \ 1 end{bmatrix} \ & = A_{1}^{m-1} A_{2}egin{bmatrix} f_{n-1,m} \ 1 end{bmatrix} \ & = ( A_{1}^{m-1}  A_{2} )^{n-1} egin{bmatrix} f_{1,m} \ 1 end{bmatrix} \ & = ( A_{1}^{m-1} A_{2} )^{n-1}  A_{1}^{m-1} egin{bmatrix} f_{1,1} \ 1 end{bmatrix}  end{aligned} $

　　然后用一发10进制矩阵快速幂能解决这道题了。

　　然而……这种做法跑的极慢。在洛谷上还能以近2000msAC，放到bzoj的6元cpu上跑就有些力不从心了，，所以得卡常数。

　　经过了十几次提交，使用了奥义·卡常数：10^18进制进制快速幂+循环展开+register后终于卡进了时限。。。

　　代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define base 1000000000000000000ll
#define eps 1e-18
inline ll read()
{
    ll tmp=0; char c=getchar(),f=1;
    for(;c<'0'||'9'<c;c=getchar())if(c=='-')f=-1;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar())tmp=tmp*10+c-'0';
    return tmp*f;
}
using namespace std;
struct mat{
    ll num[2][2];
}mat1,mat2;
struct hp{
    ll num[1000010];
    int len;
}n,m;
char s[1000010],t[1000010];
ll a,b,c,d;
mat times(mat a,mat b)
{
    mat c;
    c.num[0][0]=(a.num[0][0]*b.num[0][0]+a.num[0][1]*b.num[1][0])%mod;
    c.num[0][1]=(a.num[0][0]*b.num[0][1]+a.num[0][1]*b.num[1][1])%mod;
    c.num[1][0]=(a.num[1][0]*b.num[0][0]+a.num[1][1]*b.num[1][0])%mod;
    c.num[1][1]=(a.num[1][0]*b.num[0][1]+a.num[1][1]*b.num[1][1])%mod;
    return c;
}
mat power_num(mat a,ll b)
{
    mat ans; ans.num[0][0]=ans.num[1][1]=1; ans.num[0][1]=ans.num[1][0]=0;
    while(b){
        if(b&1)ans=times(ans,a);
        a=times(a,a); b>>=1;
    }
    return ans;
}
mat power(mat a,hp b)
{
    mat ans; ans.num[0][0]=ans.num[1][1]=1; ans.num[0][1]=ans.num[1][0]=0;
    for(register int i=1;i<=b.len;i++){
        ans=times(ans,power_num(a,b.num[i]));
        a=power_num(a,base);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    register int i;
    scanf("%s",s); scanf("%s",t); a=read(); b=read(); c=read(); d=read();
    mat1.num[0][0]=a; mat1.num[0][1]=b; mat1.num[1][0]=0; mat1.num[1][1]=1;
    mat2.num[0][0]=c; mat2.num[0][1]=d; mat2.num[1][0]=0; mat2.num[1][1]=1;
    int len1=strlen(s),len2=strlen(t);
    for(i=1;i*18<=len1;i++){
        n.num[i]=0;
        for(register short j=18;j;j--)
            n.num[i]=n.num[i]*10+s[len1-(i-1)*18-j]-'0';
    }
    n.len=len1/18;
    if(len1%18){
        n.num[++n.len]=0;
        for(register short j=0;j<len1%18;j++)n.num[n.len]=n.num[n.len]*10+s[j]-'0';
    }
    for(i=1;i*18<=len2;i++){
        m.num[i]=0;
        for(register short j=18;j;j--)
            m.num[i]=m.num[i]*10+t[len2-(i-1)*18-j]-'0';
    }
    m.len=len2/18;
    if(len1%18){
        m.num[++m.len]=0;
        for(register short j=0;j<len2%18;j++)m.num[m.len]=m.num[m.len]*10+t[j]-'0';
    }
    n.num[1]-=1;
    for(i=1;i<=n.len;i++)if(n.num[i]<0)n.num[i]+=base,n.num[i+1]-=1;
    if(n.num[n.len]==0&&n.len>1)--n.len;
    m.num[1]-=1;
    for(i=1;i<=m.len;i++)if(m.num[i]<0)m.num[i]+=base,m.num[i+1]-=1;
    if(m.num[m.len]==0&&m.len>1)--m.len;
    mat hang=power(mat1,m);
    mat ans=times(power(times(hang,mat2),n),hang);
    printf("%lld
",(ans.num[0][0]+ans.num[0][1])%mod);
}

---

解法2：

　　我们可以发现把$f_{1,i}=af_{i-1}+b$不断地展开后就能得到$f_{1,i}=a^i f_{1,1}+bsum_{k=0}^{i-1}a^{k}$，即$f_{2,1}=a^{i}cf_{1,1}+bcsum_{k=0}^{m-1}a^{k}+d$，于是我们可以用等比数列求和公式化简这个式子，又因为1e9+7是质数，所以可以由费马小定理将指数对1e9+6取模（不过需特判$a=1$的情况）。

　　然后我们可以发现这个式子也是$f_{i,1}=af_{i-1,1}+b$的形式（其中$ a,b $是常数），于是用上面的方法求出$f_{n+1,1}$，然后$f_{n,m}$就好求了。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000000007
#define eps 1e-18
inline ll read()
{
    ll tmp=0; char c=getchar(),f=1;
    for(;c<'0'||'9'<c;c=getchar())if(c=='-')f=-1;
    for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar())tmp=(tmp<<3)+(tmp<<1)+c-'0';
    return tmp*f;
}
using namespace std;
char s[1000010],t[1000010];
ll a,b,c,d,n,m;
ll power(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod; b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%s",s); scanf("%s",t); a=read(); b=read(); c=read(); d=read();
    int len1=strlen(s),len2=strlen(t);
    m=0;
    for(i=0;i<len2;i++)m=(m*10+t[i]-'0')%(a>1?mod-1:mod);
    ll p=power(a,m-1)*c%mod,q=((a>1?(power(a,m-1)+mod-1)*power(a+mod-1,mod-2)%mod:m-1)*b%mod*c%mod+d)%mod;
    for(i=0;i<len1;i++)n=(n*10+s[i]-'0')%(p>1?mod-1:mod);
    ll ans=(power(p,n)+(p>1?(power(p,n)+mod-1)*power(p+mod-1,mod-2)%mod:n)*q)%mod;
    printf("%lld
",(ans+mod-d)*power(c,mod-2)%mod);
}