「LOJ#10072」「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip（无向图最小环问题）（Floyd

题目描述

原题来自：CEOI 1999

给定一张无向图，求图中一个至少包含 $3$ 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。该问题称为无向图的最小环问题。在本题中，你需要输出最小环的方案，若最小环不唯一，输出任意一个均可。若无解，输出 No solution.。图的节点数不超过 $100$。

输入格式

第一行两个正整数 $n,m$ 表示点数和边数。
接下来 $m$ 行，每行三个正整数 $x,y,z$，表示节点 $x,y$ 之间有一条长度为 $z$ 的边。

输出格式

输出一个最小环的方案：按环上顺序输出最小环上的点。若最小环不唯一，输出任意一个均可。若无解，输出 No solution.

样例

样例输入

5 7
1 4 1
1 3 300
3 1 10
1 2 16
2 3 100
2 5 15
5 3 20

样例输出

1 3 5 2

题解

无向图的最小环问题啊，不知道在多少场考试中间卡住了我的临门一脚。——hzz

教材：http://www.cnblogs.com/Yz81128/archive/2012/08/15/2640940.html#undefined

这个最小环中，一定会有一个编号最大的点。

那么我们设$dp[i][j][k]$为在只经过$1$~$k$的点时，$i$，$j$的最短距离。

那么如果我们设最小环中最大的点为$k$，它两边有点$i$，$j$，

那么答案的最小值就是$dp[i][j][k-1]+g[j][k]+g[k][i]$。

//

然后我们联想Floyd的过程，

$for$ $int$ $k=1$ $to$ $n$

    $for$ $int$ $i=1$ $to$ $n$

　　$for$ $int$ $j=1$ $to$ $n$

也就是说，在$k$时，$i$，$j$的最小值都只中转了$1$~$k$的点。

这不就是我们要的$dp[i][j][k]$嘛？！

于是我们可以在Floyd的同时顺便维护答案。

并且$dp$数组的$k$那一维还是可以省掉的。

//详见代码吧qwq

编号    题目    状态    分数    总时间    内存    代码 / 答案文件    提交者    提交时间
#239580    #10072. 「一本通 3.2 例 1」Sightseeing Trip Accepted    100    45 ms    380 KiB    C++ / 1.2 K    qwerta    2018-10-22 16:48:53

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long 
int g[103][103];//直接连边的距离
int dis[103][103];//有中转点的距离
int q[103];
int toq=0;
int zz[103][103];//zz[i][j]表示从i到j的最小路径的中转点
void getpath(int u,int v)
{
    if(!zz[u][v])return;
    getpath(u,zz[u][v]);//从u往中转点找
    q[++toq]=zz[u][v];
    getpath(zz[u][v],v);
    return;
}
int main()
{
    //freopen("a.in","r",stdin);
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,127,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;++i)
      g[i][i]=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int x,y,l;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&l);
        g[x][y]=min(g[x][y],l);
        g[y][x]=g[x][y];
    }
    memcpy(dis,g,sizeof(g));
    long long ans=1e9+7;
    for(int k=1;k<=n;++k)
    {
        for(int i=1;i<k;++i)
        for(int j=i+1;j<k;++j)//因为k为环内最大点，所以只能循环到k-1
        {
            if(1LL*dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i]<ans)
            {
                ans=dis[i][j]+g[j][k]+g[k][i];
                toq=0;
                q[++toq]=i;
                getpath(i,j);
                q[++toq]=j;
                q[++toq]=k;
            }
        }
        //然后是正常Floyd
        for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            if(1LL*dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
            {
                dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
                zz[i][j]=k;
            }
        }
    }
    if(!toq){cout<<"No solution.";return 0;}
    for(int i=1;i<=toq;++i)
      cout<<q[i]<<" ";
    return 0;
}