Nowcoder Removal ( 字符串上的线性 DP )

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题意 : 给出长度为 n 的字符串、问你准确删除 m 个元素之后、能产生多少种不同的子串

分析 ( 参考博客 ): 

可以考虑线性 DP 解决这个问题

试着如下定义动态规划数组

dp[i][j] = 在加入第 i 个字符串后、总共删除了 j 个字符后的不同子串的个数

不难写出状态转移方程 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] 

代表在 i 这个字符加入之后、在删除总次数为 j 的情况下是否删除 i 的两个状态转移而来

但是这样子势必会有重复的字串出现、例如 aaa 这个字符串 删除第一个和第二个都产生 aa

所以需要减去重复的部分、注意到如果在第 i 个字符之前后一个和它相同的字符出现记做 pre_i

而且满足 (i字符位置) - (pre_i字符位置) <= j 则说明会有重复计算的情况

因为如果在总共删除的 j 个字符中包含了pre_i ~ i 之间的字符、那么便会产生重复

例如 abcexxe 发现有一前一后两个 e 两个之间相隔有两个 x

那么如果用上述的转移方程去更新的话 dp[4][0] = "abce" 且 dp[7][3] = 包含了 "abce"

所以会有诸如这样子的重复、减去就行了

怎么减？ if  (i字符位置) - (pre_i字符位置) <= j   执行  dp[i][j] -= dp[ pre_i - 1 ][ j - ( i - pre_i ) ]

因为先前重复计算的部分就包含了 pre_i 位置下减去了 j - ( i - pre_i ) 个字符的部分

#include<bits/stdc++.h>
#define LL __int64
#define ULL unsigned long long

#define scl(i) scanf("%lld", &i)
#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)
#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)
#define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l)

#define scs(i) scanf("%s", i)
#define sci(i) scanf("%d", &i)
#define scd(i) scanf("%lf", &i)
#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)
#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)
#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)
#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)
#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)
#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)
#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)
#define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l)
#define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l)
#define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l)

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define lowbit(i) (i & (-i))
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))

#define fir first
#define sec second
#define VI vector<int>
#define ins(i) insert(i)
#define pb(i) push_back(i)
#define pii pair<int, int>
#define VL vector<long long>
#define mk(i, j) make_pair(i, j)
#define all(i) i.begin(), i.end()
#define pll pair<long long, long long>

#define _TIME 0
#define _INPUT 0
#define _OUTPUT 0
clock_t START, END;
void __stTIME();
void __enTIME();
void __IOPUT();
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;

int arr[maxn];
int Pre[maxn];
int Last[10 + 5];
int dp[maxn][10 + 5];

int main(void){__stTIME();__IOPUT();

    int n, m, k;

    while(~sciii(n, m, k)){

        for(int i=0; i<=n; i++) Last[i] = 0;

        for(int i=1; i<=n; i++){
            sci(arr[i]);
            Pre[i] = Last[arr[i]];
            Last[arr[i]] = i;
        }

        for(int i=0; i<=m; i++) dp[i][i] = 1;
        ///代表空串、在下面的转移方程中 dp[i-1][j] 会用到
        ///其意义是更新到 i 为止在不删除第 i 个字符情况下总共删除了 j 个
        ///字符的情况、此时就说明只剩下第 i 个字符、dp数值应该为 1
        ///故给空串赋值为 1

        for(int i=1; i<=n; i++){
            dp[i][0] = 1;
            for(int j=1; j<=min(m, i-1); j++){
                dp[i][j] = (dp[i-1][j-1]%mod + dp[i-1][j]%mod) % mod;
                if(Pre[i] && i - Pre[i] <= j){
                    dp[i][j] = (dp[i][j] - dp[ Pre[i] - 1 ][ j - (i - Pre[i]) ] + mod ) % mod;
                }
            }
        }

        printf("%d
", dp[n][m]%mod);
    }

__enTIME();return 0;}


void __stTIME()
{
    #if _TIME
        START = clock();
    #endif
}

void __enTIME()
{
    #if _TIME
        END = clock();
        cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
    #endif
}

void __IOPUT()
{
    #if _INPUT
        freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif
    #if _OUTPUT
        freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif
}