2018 焦作网络赛 G Give Candies ( 欧拉降幂 )

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题意 : 给出 N 个糖果、老师按顺序给 1~N 编号的学生分配糖果、每个学生要么不分、要么最少分一个、且由于是按顺序发放、那么对于某个有分到糖果的编号为 i 的学生、则 1~(i-1) 这些学生都最少有一个糖果、老师必须分完 N 个糖果、问你最后不同的分配方式有多少种

分析 :

队友根据组合计数的方法推出了答案是 2^(N-1)

你也可以通过打表的方式来找到这个规律

但是这里 N 很大、不能直接进行快速幂运算

需要进行降幂处理

有一个男人、他叫欧拉

提出了一个降幂公式

a^n mod c = a^( n % φ(c) + φ(c) ) mod c

条件是 n ≥ φ(c)

注 : φ(n) 是欧拉函数的意思、代表从 1 ~ n 与 n 互质的数的个数

当 n 为质数的时候 φ(n) = n-1

所以只要在输入的时候、将指数适当进行模运算处理、就可以通过快速幂通过此题

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long

#define scl(i) scanf("%lld", &i)
#define scll(i, j) scanf("%lld %lld", &i, &j)
#define sclll(i, j, k) scanf("%lld %lld %lld", &i, &j, &k)
#define scllll(i, j, k, l) scanf("%lld %lld %lld %lld", &i, &j, &k, &l)

#define scs(i) scanf("%s", i)
#define sci(i) scanf("%d", &i)
#define scd(i) scanf("%lf", &i)
#define scIl(i) scanf("%I64d", &i)
#define scii(i, j) scanf("%d %d", &i, &j)
#define scdd(i, j) scanf("%lf %lf", &i, &j)
#define scIll(i, j) scanf("%I64d %I64d", &i, &j)
#define sciii(i, j, k) scanf("%d %d %d", &i, &j, &k)
#define scddd(i, j, k) scanf("%lf %lf %lf", &i, &j, &k)
#define scIlll(i, j, k) scanf("%I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k)
#define sciiii(i, j, k, l) scanf("%d %d %d %d", &i, &j, &k, &l)
#define scdddd(i, j, k, l) scanf("%lf %lf %lf %lf", &i, &j, &k, &l)
#define scIllll(i, j, k, l) scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d", &i, &j, &k, &l)

#define lson l, m, rt<<1
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define lowbit(i) (i & (-i))
#define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i))

#define fir first
#define sec second
#define VI vector<int>
#define ins(i) insert(i)
#define pb(i) push_back(i)
#define pii pair<int, int>
#define VL vector<long long>
#define mk(i, j) make_pair(i, j)
#define all(i) i.begin(), i.end()
#define pll pair<long long, long long>

#define _TIME 0
#define _INPUT 0
#define _OUTPUT 0
clock_t START, END;
void __stTIME();
void __enTIME();
void __IOPUT();
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
const LL mod = 1e9 + 7;
char str[maxn];

LL pow_mod(LL a, LL b)
{
    a %= mod;
    LL ret = 1LL;
    while(b){
        if(b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }return ret;
}

int main(void){__stTIME();__IOPUT();


    int nCase;
    sci(nCase);

    while(nCase--){
        scs(str);
        int len = strlen(str);

        LL Index = 0;
        for(int i=0; i<len; i++)
            Index = ((Index * 10) + (str[i]-'0'))%(mod-1);

        printf("%lld
", pow_mod(2LL, Index-1 < 0 ? 0 : Index-1));
    }




















__enTIME();return 0;}


void __stTIME()
{
    #if _TIME
        START = clock();
    #endif
}

void __enTIME()
{
    #if _TIME
        END = clock();
        cerr<<"execute time = "<<(double)(END-START)/CLOCKS_PER_SEC<<endl;
    #endif
}

void __IOPUT()
{
    #if _INPUT
        freopen("in.txt", "r", stdin);
    #endif
    #if _OUTPUT
        freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif
}