【剑指offer】9.斐波那契数列

9.斐波那契数列

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1

F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2

输出：1

示例 2：

输入：n = 5

输出：5

1.使用递归

递归的使用就是将一个大问题分解成多个子问题进行递归解决。

  public int fib(int n) {
            if(n<=1){
                return  n;
            }
    
            return fib(n-1)+fib(n-2);
        }

问题 递归调用的过程中会出现重复计算的子问题。当递归调用栈的深度超过系统栈 就会出异常。

2记忆化递归法

动态规划的思想也是将大问题化解成多个子问题，但是动态规划会将重复计算的子问题的解存储起来。这样避免了重复计算带来的性能开销。

   public int fib(int n) {
            if(n<=1){
                return n;
            }
    
            int [] fib = new int [n+1];
     
            fib[1] = 1;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                fib[i] = fib[i-1]+fib[i-2];
            }
            return fib[n];
        }

3.动态规划

分析一下 空间复杂度是O(n)

public int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 1)
        return n;
    int pre2 = 0, pre1 = 1;
    int fib = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        fib = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = fib;
    }
    return fib;
}

空间复杂度由O(n)降低到O(1)

4.循环求余法

class Solution {
    public int fib(int n) {
        int a = 0, b = 1, sum;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            sum = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = sum;
        }
        return a;
    }
}

时间复杂度 O(N) ： 计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1) 。

空间复杂度 O(1) ： 几个标志变量使用常数大小的额外空间。