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  • 数论总结之 卢卡斯定理

    因为我数论比较特别菜,所以我是看了别人的博客之后才来写自己的理解的。

    并且时间紧急,环境简陋,于是公式什么的我就直接抄了【所以变量名什么的也就一样了。

    Lucas

      Lucas是用于解决一些组合数取模运算的定理,常常在阶乘无法解决的时候我们会想到ta。

      

      在了解Lucas的实现方法之前,我们先来证明一个东西。

      

      我们只需要把他拆开,     下面↓  这个地方少了一个 “ = ” 符号

      

      证毕。

      那么我们接下来,就利用这个性质以及二项式定理,来推一下结论。

          二项式定理:

      可以很容易的得到:【我手推过了只要认真是肯定很显然的

      

      那么我们接下来证明:

      

      我们发现,左边只有一项,而右边有好多项,所以把它拆开。

      我们设

      那么上面的式子经过移项变形,就变成了这样:

      我们发现ta其实是存在子母问题关系的,所以可以递归求解。

      好的,那么我们回到二项式定理,证明

      展开(1+x)lp,得到下面的东西:

      

      仔细观察一下系数的关系。

      

        ¤这里采用了向下取整,一定要注意。

      证毕。

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