dp优化---四边形不等式与决策单调性

四边形不等式

定理1:

　　设w(x,y)为定义在整数集合上的二元函数,若存在任意整数a,b,c,d(a<=b<=c<=d),并且w(a,d)+w(b,c)>=w(a,c)+w(b,d)都成立,则w(x,y)满足四边形不等式。

定理2:

　　设w(x,y)为定义在整数集合上的二元函数,若存在任意整数a,b(a<b),并且w(a,b+1)+w(a+1,b)>=w(a,b)+w(a+1,b+1)都成立,则w(x,y)也满足四边形不等式。

用数学归纳法证明即可。

决策单调性

　　假设转移方程为dp[i]=min(dp[j]+v(j,i)),v(j,i)为状态j到状态i的转移代价。设p[i]为转移到i状态最优的j，如果p[i]在定义域上单调不下降则称转移方程具有决策单调性。

定理:

　　若在上述转移方程中v(j,i)满足四边形不等式,则转移方程满足决策单调性。

证明:

　　

 　　观察式③可以发现,当j<p[i]时,以p[i]作为dp[i`]的决策比j要好,那么以此可以得出p[i`]>=p[i],既转移方程满足决策单调性。

应用

　　如何通过决策单调性将o(n^2)的复杂度降到o(nlogn)呢？

　　关键在于如何维护p数组，首先再回顾一下p数组的意义:p[i]是dp[i]的最优决策,既dp[i]=dp[p[i]]+v(p[i],i)最优。并且p数组单调不下降，根据单调不下降的性质可以维护一个单调队列，队列元素为(x,l,r)三元组表示p[l-r]=x。每次添加一个新决策i都要与之前的决策比较，删除p[1~i-1]的决策，维护它最优决策的性质。

　　总结一下过程,对于每个i，执行下列操作:

　　1.设队首为(j₀,l₀,r₀),若r₀<i,则删除队首,保证队首的决策对应dp[i]。然后再令l₀++(举例:当队首为(1,2,5)，而i==2时,删除p[2],因为对i+1来说p[1~i]没有意义)。

　　2.计算dp[i]=dp[j₀]+v(j₀,i)

　　3.插入新决策i(具体过程见板子)。

        q[1].x=0;q[1].l=1;q[1].r=n;t=h=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(h<=t&&q[h].r<i)    h++;//h表示队首，删除队首 
            q[h].l++;
            dp[i]=dp[q[h].x]+val(i,q[h].x);
            int pos=1e9;
            while(h<=t&&dp[i]+val(q[t].l,i)<=dp[q[t].x]+val(q[t].l,q[t].x))
                pos=q[t].l,t--;//当队尾决策都不如决策i好时，删去队尾 
            if(h<=t&&dp[q[t].x]+val(q[t].r,q[t].x)>dp[i]+val(q[t].r,i)){
                int l=q[t].l,r=q[t].r,mid,p1=q[t].r+1; 
                while(l<=r){//二分求出以i为最优决策的位置p1,p1之后i决策更优 
                    mid=l+r>>1;
                    if(dp[q[t].x]+val(mid,q[t].x)>=dp[i]+val(mid,i))
                        p1=mid,r=mid-1;
                    else
                        l=mid+1;
                }
                q[t].r=p1-1;pos=p1;
            }
            if(pos<=n){
                ++t;q[t].l=pos;q[t].r=n;q[t].x=i;
            }
        }