【洛谷P1627】 【CQOI2009】中位数

问题描述

有一个长度为N的数列{A₁,A₂,...,A_N}，这N个数字恰好是1...N的一个排列。你需要求出这个序列有多少个子序列{A_i,A_i+1,...,A_j}满足：

1、i≤j且j-i+1为奇数。

2、这个序列的中位数为B。

例如{5,1,3}的中位数为3。

输入格式

输入文件第一行包含两个正整数N和B，满足1≤N≤100000且1≤B≤N。

第二行包含N个整数A_i。

输出格式

输出文件仅包含一个整数，为满足条件的子序列个数。

样例输入

7 4

5 7 2 4 3 1 6

样例输出

4

题解

如果B是一个序列的中位数，那么这个序列中比B大的数的个数和比B小数的个数相等。事实上，我们不需要知道这些数的具体数值，只要知道这些数和B的大小关系就够了。

把比B大的数记为1，比B小的数记为-1，分别计算以B为右端点的后缀和lsum和以B为左端点的前缀和rsum，对于任意一个子序列的左端点l和右端点r，当lsum[l]+rsum[r]==0时满足条件。

设lnum[i]表示lsum[j]==i的lsum的个数，rnum[i]表示rsum[j]==i的rsum的个数，根据乘法原理，满足条件的子序列的个数为∑lnum[i]*rnum[-i]

注意到lnum和rnum的下标可能为负，数组整体右移。

#include <cstdio>
int n,B,a[100005],lsum[100005],rsum[100005],lnum[200005],rnum[200005],ans;
int main()
{
    int i,j,p,l,r;
    scanf("%d%d",&n,&B);
    for (i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d",&a[i]);
    for (p=1;p<=n && a[p]!=B;p++);
    lnum[n]=rnum[n]=1;
    for (i=p-1;i>=1;i--) 
      lsum[i]=a[i]>B?1:-1,
      lsum[i]+=lsum[i+1],
      lnum[lsum[i]+n]++;
    for (i=p+1;i<=n;i++) 
      rsum[i]=a[i]>B?1:-1,
      rsum[i]+=rsum[i-1],
      rnum[rsum[i]+n]++;
    for (i=-n;i<=n;i++)
       ans+=lnum[i+n]*rnum[-i+n];
    printf("%d",ans);
    return 0;
}