伯努利分布与二项分布

伯努利分布-Bernoulli distribution

　　伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p(其中0<p<1)。0表示失败，出现的概率为q=1-p。

　　分布律：

　　性质：均值：E(X)=p

         　　 方差：var(X)=p(1-p)

二项分布-Binomial Distribution

　　二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布。

　　概率质量函数：

　　一般地，如果随机变量{displaystyle {mathit {X}}}服从参数为{displaystyle {mathit {n}}}和{displaystyle {mathit {p}}}的二项分布，我们记{displaystyle Xsim b(n,p)}或{displaystyle Xsim B(n,p)}.n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：

对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中{displaystyle {n choose k}={frac {n!}{k!(n-k)!}}}是二项式系数。

　　期望和方差：

　　如果X~B(n, p)（也就是说，X是服从二项分布的随机变量），那么X的

　　期望值为：

　　方差 为： 

　　证明： 首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为 p ，后者的概率为1 −  p 。该试验的期望值等于μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p 。该试验的方差也可以类似地计算： σ² = (1−p)²·p + (0−p)²·(1−p) = p(1 − p) .    

　　一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：