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  • 3D数学基础:四元数与欧拉角之间的转换

      在3D图形学中,最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角,比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。本文主要归纳了两种表达方式的转换,计算公式采用3D笛卡尔坐标系:

      单位四元数可视化为三维矢量加上第四维的标量坐标 。其中,矢量部分等于单位旋转轴乘以旋转半角的正弦,标量部分等于旋转半角的余弦。

    图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

          定义分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度,如果用Tait-Bryan angle表示,分别为Yaw、Pitch、Roll。

    图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

    一、四元数的定义

       通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数:

           其中是绕旋转轴旋转的角度,为旋转轴在x,y,z方向的分量(由此确定了旋转轴)。

    二、欧拉角到四元数的转换

    三、四元数到欧拉角的转换

           arctanarcsin的结果是,这并不能覆盖所有朝向(对于的取值范围已经满足),因此需要用atan2来代替arctan

    四、在其他坐标系下使用

    在其他坐标系下,需根据坐标轴的定义,调整一下以上公式。如在Direct3D中,笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴,Y轴变为X轴,Z轴变为Y轴(无需考虑方向)。

    五、示例代码

     http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
    Demo渲染两个模型,左边使用欧拉角,右边使用四元数,方向键Up、Left、Right旋转模型。

    VS2008下一个编译错误解决办法:

    错误:#include "d3dx9.h"找不到该文件

    解决办法:

    • 将D3D9的头文件所在目录添加到项目包含目录中去,即C:Program Files (x86)Microsoft DirectX SDK (June 2010)Include
    • 将D3D9的32位库文件所在目录添加到项目库目录中去,即C:Program Files (x86)Microsoft DirectX SDK (June 2010)Libx86
    参考文献:
    [1] Conversion between quaternions and Euler angles
    [2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985
    [3]四元数与欧拉角之间的转换
    [4]四元数与旋转
    [5]四元数与旋转
    [6]【Unity技巧】四元数(Quaternion)和旋转
    [7]Understanding Quaternions 中文翻译《理解四元数》
    [8]四元数基础

    [9]《3D数学基础:图形与游戏开发》(清华大学出版社)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/rainbow70626/p/5348725.html
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