(mathcal{Description})
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给定序列 ({a_n})，问是否存在一棵二叉搜索树，使得其中序遍历为 ({a_n})，且相邻接的两点不互素。
(nle700)。
(mathcal{Solution})
显然的 (mathcal O(n^4)) DP：(f(l,r,i)) 表示区间 ([l,r]) 是否能构成以 (i) 为根的树。
一个重要的性质：若区间 ([l,r]) 构成二叉搜索树的一棵完整的子树，则其父亲是 (l-1) 或 (r+1)。证明显然。
那么状态可以优化，令 (f(l,r,0/1)) 表示区间 ([l,r]) 能否作为 (l-1/r+1) 的子树，转移：
[f(l,r,0)=igvee_{k=l}^rf(l,k-1,1)land f(k+1,j,0)land gcd(a_k,a_{l-1})
ot=1\f(l,r,1)=igvee_{k=l}^rf(l,k-1,1)land f(k+1,j,0)land gcd(a_k,a_{r+1})
ot=1
]
当 (l=1) 或 (r=n)，认为逻辑与的最后一项为真即可。复杂度 (mathcal O(n^3))。
(mathcal{Code})
#include <cstdio>
const int MAXN = 700;
int n, a[MAXN + 5];
bool f[MAXN + 5][MAXN + 5][2];
inline int gcd ( const int a, const int b ) { return b ? gcd ( b, a % b ) : a; }
inline bool toLeft ( const int fid, const int id ) {
return ! fid || ( a[fid] < a[id] && gcd ( a[fid], a[id] ) ^ 1 );
}
inline bool toRight ( const int fid, const int id ) {
return fid > n || ( a[id] < a[fid] && gcd ( a[id], a[fid] ) ^ 1 );
}
int main () {
scanf ( "%d", &n );
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) scanf ( "%d", &a[i] );
for ( int i = 1; i <= n; ++ i ) {
f[i][i][0] = toLeft ( i - 1, i );
f[i][i][1] = toRight ( i + 1, i );
f[i][i - 1][0] = f[i][i - 1][1] = true;
}
f[n + 1][n][0] = f[n + 1][n][1] = true;
for ( int len = 2; len <= n; ++ len ) {
for ( int i = 1, j; ( j = i + len - 1 ) <= n; ++ i ) {
bool &curl = f[i][j][0], &curr = f[i][j][1];
for ( int k = i; k <= j && ( ! curl || ! curr ); ++ k ) {
if ( f[i][k - 1][1] && f[k + 1][j][0] ) {
if ( toLeft ( i - 1, k ) ) curl = true;
if ( toRight ( j + 1, k ) ) curr = true;
}
}
}
}
puts ( f[1][n][0] || f[1][n][1] ? "Yes" : "No" );
return 0;
}