Note -「单位根反演」学习笔记

(mathcal{Preface})

  单位根反演，顾名思义就是用单位根变换一类式子的形式。有关单位根的基本概念可见我的这篇博客。

(mathcal{Formula})

  单位根反演的公式很简单：

[[k|n]=frac{1}ksum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni} ]

(mathcal{Proof})

  分类讨论：

1. (k|n). 那么 ((forall i)(omega_k^{ni}=1))，所以右侧为 (frac{1}ksum_{i=0}^{k-1}1=1)。
2. (k ot=n). 等比数列求和，右侧为 (frac{1}kcdotfrac{1-omega_k^{kn}}{1-omega_k^n})，其中 (omega_k^{kn}=1)，故分子为 (0)，分母不为 (0)，式子的值为 (0)。

  综上，得证。

(mathcal{Inference})

  实际问题中，我们往往需要求出对于某个多项式（多为生成函数）(f) 的特定倍数次数的系数和。即求：

[sum_{i=0}^{lfloor frac{n}k floor}[x^{ik}]f(x) ]

  运用单位根反演的基本公式变形：

[egin{aligned} sum_{i=0}^{lfloorfrac{n}k floor}[x^{ik}]f(x)&=sum_{i=0}^n[k|i][x^i]f(x)\ &=sum_{i=0}^n[x^i]f(x)cdotfrac{1}ksum_{j=0}^{k-1}omega_k^{ij}\ &=frac{1}ksum_{j=0}^{k-1}sum_{i=0}^n[x^i]f(x)(omega_k^j)^i\ &=frac{1}ksum_{j=0}^{k-1}f(omega_k^j) end{aligned} ]

  只要能快速求出 (f) 在所有 (k) 次单位根处的点值，就能 (mathcal O(k)) 得出原式的值啦。

  更方便的形式，若我们想求 (imod k=r) 时 ([x^i]f(x)) 之和，只需要在运用反演时移动一下 (omega_k) 的指标：

[egin{aligned} sum_{i=0}^n[imod k=r][x^i]f(x)&=frac{1}ksum_{i=0}^nleft(sum_{j=0}^{k-1}omega_k^{j(i-r)} ight)[x^i]f(x)\ &=frac{1}ksum_{j=0}^{k-1}omega_{k}^{-jr}f(omega_k^j) end{aligned} ]

  当然，我们常用原根代替单位根。

(mathcal{Examples})

  「LOJ 6485」 LJJ 学二项式定理 & my solution.