Solution -「多校联训」Sample

(mathcal{Description})

  Link

  （稍作简化：）对于变量 (p_{1..n})，满足 (p_iin[0,1],~sum p_i=1) 时，求 (max sum_{i=1}^n(p_i-p_i^2)i)。

  数据组数 (Tle10^5)，(nle10^6)。

(mathcal{Solution})

  Lagrange 乘子法的板题，可惜我不会。（

  先忽略 (p_iin[0,1]) 的限制，发现这是一个带约数的最优化问题：

[max~~~~f=sum_{i=1}^n(p_i-p_i^2)i,\ operatorname{s.t.}~~~~g=sum_{i=1}^np_i-1=0. ]

考虑在无约束时，(forall i,~frac{partial f}{partial p_i}=0) 时能取到 (f) 的极值，本题由于偏导是一次式，仅有一个解，所以一定是最值。我们尝试将约束 (g=0) 变成 (f) 的一个维度，使得当 (f') 关于 (g) 的偏导为 (0) 时恰有 (g=0)，就能化归为无约束的情况了。具体地，构造

[L=f+lambda g ]

此时 (g) 被作为引入变量 (lambda) 的系数，所以当 (frac{partial L}{partial lambda}=0) 时，自然有 (g=0)。这就是 Lagrange 乘子法。

  回到本题，尝试直接解出 (lambda)，先表示所有 (p)：

[frac{partial L}{partial p_i}=0=lambda+2i-4ip_i\ Rightarrow p_i=frac{lambda+2i}{4i}. ]

代入约束 (g=0) 中：

[sum_{i=1}^nfrac{lambda+2i}{4i}-1=0\ Rightarrow lambda=frac{4-2n}{h_n}. ]

其中 (h_n) 为调和级数前缀和。注意到直接代入 (lambda) 可能时一段 (p) 的前缀 (<0)，所以只好二分钦定一个前缀为 (0)。假设钦定 (p_{1..t-1}=0)，类似地有

[lambda_t=frac{4-2(n-t+1)}{h_n-h_{t-1}}. ]

代入 (f_t) 后简单化简有

[f_t=frac{(n+t)(n-t+1)}{4}-frac{lambda^2}{8(h_n-h_{t-1})}. ]

就能直接计算了。单次复杂度是二分的 (mathcal O(log n))。可以通过单调滑动 (t) 值预处理做到 (mathcal O(n)-mathcal O(1))。

(mathcal{Code})

/*~Rainybunny~*/

#include <cstdio>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

const int MAXN = 1e6;
double h[MAXN + 5];

inline double calc( const int n, const int t ) {
    double c = n - t + 1, s = 0.5 * ( n + t ) * c,
      lam = ( 4 - 2 * c ) / ( h[n] - h[t - 1] );
    if ( ( lam + 2 * t ) / ( 4 * t ) < 0 ) return -1.;
    return 0.5 * s - 0.125 * lam * lam * ( h[n] - h[t - 1] );
}

int main() {
    freopen( "sample.in", "r", stdin );
    freopen( "sample.out", "w", stdout );

    rep ( i, 1, MAXN ) h[i] = h[i - 1] + 1. / i;

    int T, n; scanf( "%d", &T );
    while ( T-- ) {
        scanf( "%d", &n );
        
        int l = 1, r = n;
        while ( l < r ) {
            int mid = l + r >> 1;
            if ( calc( n, mid ) != -1. ) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        printf( "%.12f
", calc( n, l ) );
    }
    return 0;
}