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  • Involuting Bunny! (2021.8)

      CF1555F & Submission.

      Tags:「A.生成树」「B.Tricks」

      分类处理询问的 trick:连接两个连通块的边显然合法,先用这些边构建生成森林。发现每条边至多在一个环上,所以可以用 BIT 在 DFS 序上维护其余边是否可行。



      CF1554E & Submission.

      Tag:「C.性质/结论」

      把操作转化成“对于边 ((u,v)),令 (a_u)(a_v) 加上 (1)”,有以下结论:

    • 合法的序列数量为 (2^{n-1}),归纳可证不重不漏;

    • (k>1),至多只有一种方案使得所有 (kmid a_u),递归构造可证唯一性;

    • (k>1),存在方案使得所有 (kmid a_u),则 (kmid(n-1)),显然。

      然后就随便做了。

      Attention: 先分析性质,再想算法。例如这道题走起来想 DP 就裂开了。



      CF1550E & Submission.

      Tag:「A.DP-状压/插头 DP」「A.分治-二分答案」「B.Tricks」

      二分答案 (l),枚举每种字符第一个长度超过 (l) 的位置的顺序关系,每次放置一定是尽量考前放,所以可以利用预处理判断,将这一过程状压即可。

      Attention: 很讨厌这种字符串填充的题……不要一味地追求“扫一遍出解”!



      CF1550F & Submission.

      Tags:「A.并查集」「A.生成树」「B.Tricks」

      所以学了下 Boruvka 求 MST 的算法,类似于朱刘算法,维护连通块,每次求每个连通块连出的最小边,尝试加入这些边合并连通块。一共只有 (mathcal O(log n)) 次加边,故复杂度为 (mathcal O(mlog n))。这个算法的优势在于:如果 (m) 很大,但我们存在一种直接求出连通块连出最小边的方法,就可能回避复杂度中的 (m)

      回到本题,在 (i,j) 间连从 (a_i) 跳到 (a_j) 所需的最小 (k),求出 MST 就能预处理所有答案。使用 Boruvka 及上述优化 trick,利用 std::set(mathcal O(log n)) 的时间内找最小边,可以做到 (mathcal O(nlog^2n))



      CF1553G & Submission.

      Tags:「A.并查集」「C.性质/结论」

      考虑奇偶性,答案显然在 ({0,1,2}),故只需判断答案能否为 (0,1)。对于 (0),并查集直接维护连通块。对于 (1),考虑每个 (a_i+1) 带来的连通块之间的连边,暴力 (mathcal O(log^2 A)) 记录信息,若两个连通块间有边答案就是 (1)

      Attention: “素因子个数平方”是很小的,不要定式思维觉得“暴力”过不了。



      CF1543E & Submission.

      Tags:「C.构造」「C.性质/结论」「C.思维」

      震撼兔子一整年.jpg 首先分析一个 Simple 图的性质:((u,v)in ELeftrightarrow |uoplus v|=1),所以钦定某个点为 (0),其邻接点为 (2^{0..n-1}),然后 BFS 构造,每个结点的编号为与它邻接的上层结点的或和。易证。

      此后,第二问,仅需对 Simple 图求解。由于颜色总数为 (2^n),每种颜色出现次数相等,所以有解的必要条件为 (nmid 2^n)(n)(2) 的整幂)。接下来给出人类智慧构造:

    [c_u=sum_{i=0}^{n-1} [iin u]2^i. ]

    正确性易证,但能构造出来这玩意儿就离谱 qwq。



      CF1542E2 & Submission.

      Tag:「A.DP-计数 DP」

      这题评分和上题一样就离谱……令 (f(i,j)) 表示长度为 (i) 的排列对 ((p,q))(p) 的逆序对数减 (q) 的逆序对数之差为 (j) 的方案数,利用二次前缀和优化转移。求答案枚举 (p,q) 的 LCP 和第一个不同位置的差值即可。

      Attention: 注意检查模意义下的四则运算函数,这个写错就没救了。



      CF1540C2 & Submission.

      Tags:「A.DP-计数 DP」「C.性质/结论」

      一次操作起作用的条件是 (a_{i+1}-a_i<b_i),记最终序列为 (f),那么有 (sum f=sum a)。考虑最前一段被操作影响的区间,有 (f_1+(f_1+b_1)+(f_1+b_1+b_2)+cdots=a_1+a_2+cdots+a_i),进而 (f_1=frac{S_a(i)-S^2_b(i)}{i})(S^2) 即二次前缀和)。那么由于 (i) 任取,我们要保证 (S_a(i)ge ix+S^2_b(i-1)),DP 一发。注意到有用的 (x) 取值不多,仅 (mathcal O(n)) 中,所以可以预处理出所有答案。



      CF1539E & Submission.

      Tags:「A.DP-杂项」「C.细节」

      定义状态 (f(i,0/1)) 表示 左手/右手 拿着第 (i) 张卡,右手/左手 拿着第 (i+1) 张卡时,能否通过 (i) 及其以后的限制。转移枚举下一个换手的位置,显然这样的位置如果合法,必然越靠前越好。以 (f(i,0)) 为例,为了转移它,仅需记录从 (f(j,1))(1)(j) 开始,左手牌的限制区间交集和是否每张右手牌都能通过紧接着的限制,虽然比较麻烦但不难想。(

      Attention: DP 时注意不要让新的信息覆盖掉需要使用的旧信息,写完回头捋一捋各个变量在当前的意义!



      CF1536F & Submission.

      Tag:「C.性质/结论」

      打序列上游戏的 SG 表知环上后手必胜,而且后手操作只要合法都必胜。所以只需对双方共进行偶数次放置的结束状态计数。枚举放置数量,显然有

    [ extit{answer}=2sum_{i=lceilfrac{n}{2} ceil}^{n}[2mid i]left[inom{i}{n-i}+inom{i-1}{n-i-1} ight]i!. ]

      Attention: 你总不能把 SG 表打错了吧 qwq!



      CF1534F2 & Submission.

      Tags:「A.缩点/圆方树」「B.模型转化」「C.性质/结论」

      从 easy 版消除所有沙子为目标,可以把沙子的影响关系建图,每坨沙子向向上左右连至多一条边,缩点之后 (0) 入度点的个数即为答案。对于 hard,合法条件等价于每列第 (a_i) 坨沙子被消去,所以问题变成在 DAG 上选择若干点,使对于每个关键点,都至少有一个选择的点可以到达它。不难证明每坨沙子能覆盖的关键点是一个连续区间,所以可以拓扑出每个点的覆盖区间,此后转化为区间覆盖问题,随便贪心即可。



      CF1530F & Submission.

      Tags:「A.DP-概率/期望 DP」「A.DP-状压/插头 DP」「A.数学-容斥计数」

      容斥列和对角线的是否满足,行的概率可以直接算出来,结束了。(



      CF1528D & Submission.

      Tags:「A.DP-最短路相关」「B.Tricks」「B.优化建图」

      解决“原地等待边旋转指向某个结点”很好办:新建 (lang i,(i+1)mod n,1 ang) 即可。然后你发现不管这个图上的边怎么扭,Dijkstra 这类最短路算法的贪心结构是一直保证的,所以写一发 (mathcal O(n^2)) 的 Dijkstra 就行。

      注意这个细节:也许图在变,但并不妨碍某些算法的正确性。

      Attention: 略过或者叉掉某个思路的时候麻烦严谨说服自己,好多次都是秒出正解(比这题难的那种)然后莫名其妙就不想了 qwq。



      CF1527E & Submission.

      Tag:「A.DP-数据结构优化 DP」

      维护 (k) 棵线段树,第 (i) 棵的 (j) 位置表示 (f(i,j)+) 从该状态转移到当前位置的花费,细节不难。

      Attention: 虽然因为考虑到是 CF 所以才这样干,决策单调性什么的至少得打个表在下结论吧……如果在一个未证、甚至已证的结论下无法优化,不要一根筋,重启解决 (90\%) 的问题。(



      CF1523E & Submission.

      Tag:「A.数学-组合计数」

      求“超过 (i) 盏灯亮”的概率之和,问题在于求“(n) 个球里选 (m) 个,两两之间至少隔 (k) 个”,经典问题,先拿出用于分隔的 (k(m-1)) 个,选完放回去,方案数为 (inom{n-(m-1)k}{m})



      CF1521E & Submission.

      Tags:「B.Tricks」「C.构造」「C.思维」

      一种重要的构造思想:给对象分类。例如奇偶分类、构造二分图……本题中,就可以按 此图(为了不占版面就不放图了 awa)所示把格子分为四类,发现蓝色格子是万能的,不可能与任何格子冲突,那么就把这类格子当做缓冲。具体地,依次填黄色和红色格子,发现填不了就丢蓝色格子。另一方面,可以根据必要条件算出答案下界,由构造方案知下界一定可行,这里不细讲。(其实直接二分答案放置也是可以的。)



      CF1521D & Submission.

      Tag:「B.贪心」

      贪心地递归,把树拆成若干链,具体地,递归出 (u) 子树时,需要知道 (u) 能否继续向上连边,若能,链的底部是谁。



      CF1278F & Submission.

      Tag:「A.数学-数学推导」

      好啊,模数敲错了!好啊,组合恒等式写错了!好啊,二项式定理合并错了!我想把自己炖了艹。

    [egin{aligned} extit{answer} &= m^{-n}sum_{i=0}^n i^kinom{n}{i}(m-1)^{n-i} \ &= m^{-n}sum_{j=0}^k S(k,j)j!sum_{i=0}^ninom{i}{j}inom{n}{i}(m-1)^{n-i} \ &= m^{-n}sum_{j=0}^k S(k,j)n^{underline{j}} sum_{i=0}^ninom{n-j}{n-i}m^{n-i} \ &= sum_{j=0}^kS(k,j)n^{underline{j}}m^{-j}. end{aligned} ]

    (不得不写成 (S(n,m)) 了,那个大括号怎么打出来 qwq……)



      CF1559D2 & Submission.

      Tags:「C.构造」「C.思维」「C.性质/结论」窒息标签三连击 qwq

      分类思想,如果能和 (1) 连就先连上。那么此时左森林的结点 (u) 与与之对应的右森林的结点 (u') 有三种情况:(1) 都在 (1) 连通块;(2) (u)(1) 连通块;(3) (u')(1) 连通块。我们发现 (2) 情况的 (u) 可以和 (3) 情况的任意一个 (v) 连边,此时 (u,v,u',v') 都进入 (1) 连通块。到无法操作时,必然有一片森林退化为树,所以答案达到了理论上界 (n-1-max{m_1,m_2})



      CF1556D & Submission.

      Tag:「C.构造」

      (a+b=(a operatorname{or} b)+(a operatorname{and} b)),构造 (n) 个方程解出 ({a_n})



      CF1553E & Submission.

      Tag:「C.性质/结论」

      是不是外国友人的技能树点得和我相差很远啊,这种玩意儿怎么都比上面那道简单吧。

      令 (p_i) 表示 (p={1,2,dots,n}) 循环位移 (i) 次的结果,设 (p_i) 和询问排列 (q) 的不相同位置有 (c) 个。由于 (k) 次交换最多涉及 (2k) 个元素,所以 (p_i) 合法的必要条件为 (n-cle 2k),发现 (cge n-2kge frac{n}{3}),且对于每个 (q_i),有且仅有一个 (p_j) 满足 (q_i=p_{j,i}),所以暴力检查满足这一必要条件的 (p_i) 即可。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/15118943.html
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