康拓展开模板

在

  

5个数的排列组合中，计算 34152的康托展开值。

首位是3，则小于3的数有两个，为1和2，

  

，则首位小于3的所有排列组合为

 

第二位是4，由于第一位小于4，1、2、3中一定会有1个充当第一位，所以排在4之下的只剩2个，所以其实计算的是在第二位之后小于4的个数。因此

  

。

第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以

  

。

第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以

  

。

最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以

  

固定为0

根据公式：

 

　　所以比34152小的组合有61个，即34152是排第62。

 

求排列映射成整数是多少

#include<iostream>
using namespace std;
const int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};//阶乘0-10
int cantor(int a[],int n){//cantor展开,n表示是n位的全排列，a[]表示全排列的数（用数组表示）
    int ans=0,sum=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(a[j]<a[i])
                sum++;
        ans+=sum*factorial[n-i];//累积
        sum=0;//计数器归零
    }
    return ans+1;
}
int main(){
    int sb[12],gs;
    cin>>gs;
    for(int i=1;i<=gs;i++)
        cin>>sb[i];
    cout<<cantor(sb,gs);//输出该集合在全排列所在位置 
    return 0;
}

康拖展开逆运算 

一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。即对于上述例子，在

  

给出61可以算出起排列组合为34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来，具体过程如下：

用 61 / 4! = 2余13，说明

  

,说明比首位小的数有2个，所以首位为3。

用 13 / 3! = 2余1，说明

  

，说明在第二位之后小于第二位的数有2个，所以第二位为4。

用 1 / 2! = 0余1，说明

  

，说明在第三位之后没有小于第三位的数，所以第三位为1。

用 1 / 1! = 1余0，说明

  

，说明在第四位之后小于第四位的数有1个，所以第四位为5。

最后一位自然就是剩下的数2。

通过以上分析，所求排列组合为 34152

 

static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880};   // 阶乘
//康托展开逆运算
void decantor(int x, int n)
{
    vector<int> v;  // 存放当前可选数
    vector<int> a;  // 所求排列组合
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v.push_back(i);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int r = x % FAC[i-1];
        int t = x / FAC[i-1];
        x = r;
        sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序
        a.push_back(v[t]);      // 剩余数里第t+1个数为当前位
        v.erase(v.begin()+t);   // 移除选做当前位的数
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
#include<iostream>
#include<cmath>//pow的头文件 
using namespace std;
const int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};//阶乘0-9
int gs,rank;//gs表示gs位的全排列，rank排列位置 
bool used[11];//判断是否用过 
int decantor(int x,int gs){//逆cantor展开，x就是rank 
    int ans=0;//存放答案 
    int sum=0;//暂时的计数 
    int quotient,remainder;//quotient商，remainder余数 
    for(int i=gs-1;i>=1;i--){
        quotient=x/factorial[i];
        remainder=x%factorial[i];
        for(int j=1;j<=gs;j++){
            if(!used[j])
                sum++;
            if(sum==quotient+1){//找到该位 
                ans+=j*pow(10,i);//pow幂运算 
                sum=0;//清零 
                x=remainder;
                used[j]=true;//标记为用过 
                break; 
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=gs;i++){
        if(!used[i]){
            ans+=i;
            break;
        }
    }//最后一位 
    return ans;//答案 
}//逆推过程 
int main(){//（signed main也可以） 
    for(int i=1;i<=10;i++)
        used[11]=false;//初始化为未用过 
    cin>>gs; 
    cin>>rank;
    rank--;//原rank前的个数 
    cout<<decantor(rank,gs);//输出该排列 
    return 0;//建议加上 
}