题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3834
对于区间查询第k小的问题，在区间数量达到5e5的时候是难以用朴素数据结构实现的，这时候主席树就应运而生了，主席树的最基础模板就是查询区间第k小树，其实他在可持久化操作上是十分上手的。主席树在线段树和离散化的基础上实现，树中每一个结点存的是当前结点代表的区间中数的数量，所以初始时刻每个结点的值都是零。然后要插入一个数a到达位置a，并且向上更新所有包含位置a的区间。主席树中每次要插入一个数就新建O(logn）量级的结点，其余结点与前一个树共用，这就实现了空间复杂度的最小化和空间的充分利用。我们在查询[L,R]区间的第K大的数的时候就要利用主席树的函数性质，即其各结点状态可减性，我们只要使得根节点编号为R的与根节点编号为L-1的两个树在结点同步时相减就能得到一棵[L,R]区间状态的树，进而用分治的思想查询树中的第K小。
以下是我手写的一份模板，用的是struct存状态，主席树的代码还是非常简单的，笔者为了让读者更好地理解，写了详细的注释：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef unsigned int ui; 4 typedef long long ll; 5 typedef unsigned long long ull; 6 #define pf printf 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 8 #define prime1 1e9+7 9 #define prime2 1e9+9 10 #define pi 3.14159265 11 #define lson l,mid,rt<<1 12 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 13 #define scand(x) scanf("%llf",&x) 14 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 15 #define scan(a) scanf("%d",&a) 16 #define mp(a,b) make_pair((a),(b)) 17 #define P pair<int,int> 18 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl; 19 #define inf 0x3f3f3f3f 20 const int maxn=2e5+10; 21 int n,m; 22 int a[maxn]; 23 vector<int>v;//离散化之后将内容存储在vector中 24 int getid(int x) 25 { 26 return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;//下标是从1开始直到n结束 27 } 28 struct node{ 29 int l,r,sum; 30 //分别保存左右子树的根节点的编号以及当前结点的数值， 31 //在还没插入点信息的时候子树中每个结点的值都是0，所以主席树不需要建树，是边插入边建树的 32 }t[maxn*40]; //适应O(nlogn)空间需求，2^40次方大小的数据是不可能的，所以可以根据习惯进行选择 33 int cnt=0,root[maxn]; 34 //权值线段树中插入的值p就是插到位置p ,由于当前结点是需要变化的，所以传入引用使他指向内存池中新的结点 35 void insert(int l, int r,int pre,int& now,int p)//参数中有前面一棵树的结点以及当前树的结点， 36 { 37 t[++cnt]=t[pre];//从内存池中生成一个根结点并将前面树的根节点复制到其中， 38 now=cnt; //使当前结点指向新生成的根结点， 39 t[now].sum++; 40 //要在第p位上插入，所以当前访问的结点是一定是增1的， 41 //后面我们将会决定访问左子树的结点还是右子树的结点 42 if(l==r)return;//到达了点信息而且前面已经在叶子结点上面更新过点信息，所以直接return 43 int m=l+r>>1; 44 //如果左子树的区间包括了p点就向左子树递归，否则走右子树，同时也要分别移动到左子树和右子树 45 if(p<=m)insert(l,m,t[pre].l,t[now].l,p); 46 else insert(m+1,r,t[pre].r,t[now].r,p); 47 } 48 int query(int l,int r,int L,int R,int k)//两个结点同步相减 49 { 50 if(l==r)return l;//返回的是点信息，就是离散化之后的坐标，便于之后通过vector进行索引 51 int m=l+r>>1; 52 int tmp=t[t[R].l].sum-t[t[L].l].sum;//先获取两棵树左子树的键值之差决定向哪一棵数递归 53 if(k<=tmp)return query(l,m,t[L].l,t[R].l,k); 54 else return query(m+1,r,t[L].r,t[R].r,k-tmp);//如果tmp<k,就查询右子树中的第k-tmp小的数，有点分治的意味 55 } 56 int main() 57 { 58 //freopen("input.txt","r",stdin); 59 //freopen("output.txt","w",stdout); 60 std::ios::sync_with_stdio(false); 61 scan(n); 62 scan(m); 63 f(i,1,n) 64 { 65 scan(a[i]); 66 v.push_back(a[i]); 67 } 68 sort(v.begin(),v.end()); 69 //将数列先排序再去重放入vector中以便通过位置获取在线段树中代表的区间点信息 70 v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end()); 71 //unique函数将不重复元素放到vector的前部， 72 //返回的时所有不重复元素的下一个位置，所以将后面的元素删去就可以离散的成为线段树的坐标点信息 73 f(i,1,n) 74 { 75 insert(1,n,root[i-1],root[i],getid(a[i]));//在第i-1棵树上建第i棵树，所以传入的是两棵树的根节点 76 } 77 int l,r,k; 78 while(m--) 79 { 80 scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); 81 pf("%d ",v[query(1,n,root[l-1],root[r],k)-1]); 82 //查询[l,r]区间更新的信息，实现动态查询第k小， 83 //注意vector中下标是从0开始的，而线段树中下标是从1开始的，所以错位了1，为了达到原来的元素就要减一 84 } 85 }
hdu2665 Kth number:
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 typedef unsigned int ui; 4 typedef long long ll; 5 typedef unsigned long long ull; 6 #define pf printf 7 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 8 #define prime1 1e9+7 9 #define prime2 1e9+9 10 #define pi 3.14159265 11 #define lson l,mid,rt<<1 12 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 13 #define scand(x) scanf("%llf",&x) 14 #define f(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) 15 #define scan(a) scanf("%d",&a) 16 #define mp(a,b) make_pair((a),(b)) 17 #define P pair<int,int> 18 #define dbg(args) cout<<#args<<":"<<args<<endl; 19 #define inf 0x3f3f3f3f 20 const int maxn=2e5+10; 21 int n,m,q; 22 vector<int> v; 23 int cnt,root[maxn]; 24 int getid(int x) 25 { 26 return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1; 27 } 28 int a[maxn]; 29 struct node{ 30 int l,r,sum; 31 }t[maxn*20]; 32 void insert(int l,int r,int pre,int &now,int pos) 33 { 34 t[++cnt]=t[pre]; 35 now=cnt; 36 t[now].sum++; 37 if(l==r)return; 38 int m=l+r>>1; 39 if(pos<=m)insert(l,m,t[pre].l,t[now].l,pos); 40 else insert(m+1,r,t[pre].r,t[now].r,pos); 41 } 42 int query(int l,int r,int L,int R,int k) 43 { 44 if(l==r)return l; 45 int tmp=t[t[R].l].sum-t[t[L].l].sum; 46 int m=l+r>>1; 47 if(k<=tmp)return query(l,m,t[L].l,t[R].l,k); 48 else return query(m+1,r,t[L].r,t[R].r,k-tmp); 49 } 50 int main() 51 { 52 //freopen("input.txt","r",stdin); 53 //freopen("output.txt","w",stdout); 54 std::ios::sync_with_stdio(false); 55 scan(q); 56 f(kk,1,q) 57 { 58 scan(n);scan(m); 59 v.clear(); 60 cnt=0; 61 mem(root,0); 62 f(i,1,n) 63 { 64 scan(a[i]); 65 v.push_back(a[i]); 66 } 67 sort(v.begin(),v.end()); 68 v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end()); 69 f(i,1,n)insert(1,n,root[i-1],root[i],getid(a[i])); 70 int l,r,k; 71 f(tt,1,m) 72 { 73 scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); 74 pf("%d",v[query(1,n,root[l-1],root[r],k)-1]); 75 pf(" "); 76 } 77 } 78 }