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title: 最小生成树 Prim Kruskal
date: 2017-04-29
tag: 数据结构和算法
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拓扑排序（AOV网络）
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排课的时候，根据课程的难易程度及知识体系有些课是要先上有些课需要后上，那么在给定了一些课的先后顺序，我们怎样来安排这些课的总体顺序呢？
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实际中拓扑排序的应用必入关键路径问题，一般用于安排项目的工序。
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首先明确下拓扑序的概念：如果图中从v到w有一条有向路径，则v一定排在w之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序。
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AOV如果有合理的拓扑序，必定是有向无环图。
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具体我们怎么实现算法呢？简单的可以直接：
每次都选择入度为0的顶点，并把它和它的边一起从图中删除。
删除其事就是将与它相邻的顶点的入度减一。
算法的效率很大部分决定于找到入度为0的点，但是当图是稀疏图时，顺序扫描的方法就显得效率低下。那么有没有更好的办法呢？
- 一种很好的方法就是将入度为0的顶点放入一个容器中（栈或队列），然后没将相邻点入度减一的同时检查它的入度是否降为0，是的话就放入容器中。
代码实现：
/* 邻接表存储 - 拓扑排序算法 */
bool TopSort( LGraph Graph, Vertex TopOrder[] )
{ /* 对Graph进行拓扑排序, TopOrder[]顺序存储排序后的顶点下标 */
int Indegree[MaxVertexNum], cnt;
Vertex V;
PtrToAdjVNode W;
Queue Q = CreateQueue( Graph->Nv );
/* 初始化Indegree[] */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
Indegree[V] = 0;
/* 遍历图，得到Indegree[] */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
for (W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next)
Indegree[W->AdjV]++; /* 对有向边<V, W->AdjV>累计终点的入度 */
/* 将所有入度为0的顶点入列 */
for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
if ( Indegree[V]==0 )
AddQ(Q, V);
/* 下面进入拓扑排序 */
cnt = 0;
while( !IsEmpty(Q) ){
V = DeleteQ(Q); /* 弹出一个入度为0的顶点 */
TopOrder[cnt++] = V; /* 将之存为结果序列的下一个元素 */
/* 对V的每个邻接点W->AdjV */
for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )
if ( --Indegree[W->AdjV] == 0 )/* 若删除V使得W->AdjV入度为0 */
AddQ(Q, W->AdjV); /* 则该顶点入列 */
} /* while结束*/
if ( cnt != Graph->Nv )
return false; /* 说明图中有回路, 返回不成功标志 */
else
return true;
}
拓扑排序的应用--关键路径问题（AOE网络）
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用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的有向图：称为顶点表示活动的网（Activity On Vertex Network），简称为AOV网。
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与AOV网对应的是AOE（Activity On Edge）网即边表示活动的网。AOE网是一个带权的有向无环图。网中只有一个入度为零的点（称为源点）和一个出度为零的点（称为汇点）。其中，顶点表示事件（Event），弧表示活动，权表示活动持续的时间。
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通常，AOE网可用来估算工程的完成时间。
假如汽车生产工厂要制造一辆汽车，制造过程的大概事件和活动时间如上图AOE网：我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。那么，显然对上图AOE网而言,所谓关键路径：开始-->发动机完成-->部件集中到位-->组装完成。路径长度为5.5。如果我们试图缩短整个工期，去改进轮子的生产效率，哪怕改动0.1也是无益的。只有缩短关键路径上的关键活动时间才可以减少整个工期的长度。例如如果制造发动机缩短为2.5天，整车组装缩短为1.5天，那么关键路径为4.5。工期也就整整缩短了一天时间。好吧！ 那么研究这个关键路径意义何在？
假定上图AOE网中弧的权值单位为小时，而且我们已经知道黑深色的那一条为关键路径。假定现在上午一点，对于外壳完成事件而言，为了不影响工期：外壳完成活动最早也就是一点开始动工，最晚在两点必须要开始动工。最大权值3表示所有活动必须在三小时之后完成，而外壳完成只需要2个小时。所以，这个中间的空闲时间有一个小时，为了不影响整个工期，它必须最迟两点动工。那么才可以保证3点时与发动机完成活动同时竣工，为后续的活动做好准备。
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对AOE网有待研究的问题是：
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（1）完成整个工程至少需要多少时间？
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（2）那些活动是影响工程进度的关键？
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