noip知识点总结之--欧几里得算法和扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法

名字非常高大上的不一定难，比如欧几里得算法。。。其实就是求两个正整数a, b的最大公约数（即gcd），亦称辗转相除法

需要先知道一个定理：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) (其中a mod b != 0)  或  b (其中a mod b == 0)

证明：

后半部分呢。。。是废话，于是只要证明前半部分即可。

不妨设g = gcd(a, b)，于是有 a = g * A, b = g * B 且 (A, B) = 1

故gcd(b, a mod b) = gcd(g * B, (g * A) mod (g * B)) = g * gcd(B, A mod B)

若gcd(B, A mod B) != 1，我们可以得到：

存在g' > 1，使g' | B且g' | A mod B，故g' | A， 与(A, B) = 1矛盾！

故gcd(B, A mod B) = 1，也即gcd(b, a mod b) = g * 1 = g = gcd(a, b)

证毕。。。（貌似搞烦了？）

于是就可以做了。。。时间复杂度是O(log(max(a, b)))

十分简单地code：（只有一行额。。。）

int gcd(int a, int b){
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

应用的话。。。除了求gcd(a, b)以外。。。

貌似还可以求a，b的最小公倍数lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b)（废话+1。。。）

但是许多地方都用得到gcd。。。还是挺重要的

二、扩展欧几里得算法

Now，我们已经会求了gcd(a, b)了。。。

而同时有一个叫裴蜀定理（搞得像吃的"焙薯"一样。。。饿了>.< 唔~）：

若gcd(a, b) = 1，则存在x, y，使a * x + b * y = 1（证略）

改一改就变成了：

对任意的a和b，存在x, y，使a * x + b * y = gcd(a, b)

而x, y的计算是可以在上面求解gcd(a, b)中一起完成的。。。推一下就出来了。。（有便加深记忆）

此处不再赘述，请直接参考code： 

int extend_gcd(int a, int b, int &x, int & y){
    if (!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int res = extend_gcd(b, a % b, x, y), tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return res;
}

而求出的(x, y)有可能会大（小）的非常离谱，于是就需要进行调整。。。

不定方程的通解形式大家都会吧。。。

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求不定方程

（2）求模线性方程（线性同余方程）

（3）求模的逆元

作为noip的复习嘛。。。（1）就是本来的用处，（2）（3）应该不会考的说（奇怪的flag）