二分法-C++

　　对于一个非线性方程f(x)=0求改方程的根，我们的思路可以这么想：

　　1.根的存在性。若该方程没有根，何必徒劳想法设法去求它的解呢？对于一个方程，我们怎么去找他的根，有连续函数零点定理可知：若有f(a)f(b)<0，则在(a, b)区间有解，究竟是一个还是多少个，还是要看具体的方程。

　　2.根的分布。这个方程的根分布在哪个区间，我们在程序实现的时候就可以一一搜索，用什么方法呢？我们可以采用一个不怎么高效的方法，等步长扫描法，在扫描的期间如果出现f(x1)(fy1)<0，则说明(x1, y1)区间有根。

　　　　等步长扫描法：

　　　　　　设定h>0为给定的步长，基础区间为(a, b)，取x0=a,x1=x0+h，若f(x0)(x1)<0，则扫描成功，有根区间锁定在(x0, x1)，否则，有x0=x1, x1=x0+h,然后再进行扫描，直到x1>b为止，但这不等于该方程没有根，因为你的步长如果很大，误差就大，很容易错过了有根的区间，所以当然建议采用尽量小的步长扫描。

#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

/*
        Value类:
        用来存储一个区间的左边界值和右边界值
*/
class Value {
    private:
        double leftBound;
        double rightBound;
    public:
        double getLeftBound() {
            return leftBound;
        }
        void setLeftBound(double leftBound) {
            this->leftBound = leftBound;
        }
        double getRightBound() {
            return rightBound;
        }
        void setRightBound(double rightBound) {
            this->rightBound = rightBound;
        }
};

/*
    Array类：
    利用list类库作为模式定义一个存储容器来存储结果
*/
typedef list<Value> Array;

/*
    f(x)=0这个函数的逻辑实现
*/
double f(double x) {
    return x*x-5*x+6;
}

/*
    等步长扫描法实现：
        SameStepScan方法：
        参数：
            left：左边界
            right：右边界
            stepLength：步长值
                    array: 结果集
*/
void SameStepScan(double left, double right, double stepLength, Array *array) {
    double x0 = left;
    double x1 = x0 + stepLength;
    while(x1 <= right) {
        if(f(x0)*f(x1)<0) {
            Value value;
            value.setLeftBound(x0);
            value.setRightBound (x1);
            (*array).push_back(value);
        }
        x0 = x1;
        x1 = x0 + stepLength;
    }
}

/*
    main方法测试
*/
int main() {
    Array *array = new Array();
    SameStepScan(1, 10, 0.3, array);
    for(Array::iterator it = (*array).begin(); it != (*array).end(); it++) {
        cout<<"("<<(*it).getLeftBound()<<", "<<(*it).getRightBound()<<")"<<endl;
    }
    return 0;
}

 　　3.根的精确化。我们可以通过上面的方法得到一个区间，相当于已知了一个根的近似值，最后我们最迫切的就是让这个近似值尽量可能的靠近真值。我们通过等步长扫描法找到区间，然后通过二分法在区间中找到近似值。

　　　　二分法：二分法的原理也是基于连续函数的零点定理，设定f(x)=0在(a, b)区间有唯一的实根，令a1=a, b1=b, x=(a1+b1)/2， 如果f(a)f(x)<0，则新的区间为[a1, x]，否则为[x, b1]，然后再重复上面的步骤，最后a1-b1足够小的时候，x就是为近似值了。

/*
    二分法实现：
    BinaryDivide：
    left：左边界
    right：右边界
    accuracy：精度控制量
    value：近似值
*/
void BinaryDivide(double left, double right, double accuracy, double &value) {
    double a1 = left;
    double b1 = right;
    double x = (a1+b1)/2;
    while(b1-a1 > accuracy) {
        if(f(a1)*f(x) < 0) {
            b1 = x;
            x = (a1+b1)/2;
        } else {
            a1 = x;
            x = (a1+b1)/2;
        }
    }
    value = x;
}

/*
    main方法测试
*/
int main() {
    double value;
    Array *array = new Array();
    SameStepScan(1, 10, 0.3, array);
    for(Array::iterator it = (*array).begin(); it != (*array).end(); it++) {
        cout<<"("<<(*it).getLeftBound()<<", "<<(*it).getRightBound()<<")"<<endl;
        BinaryDivide((*it).getLeftBound(), (*it).getRightBound(), 0.00001, value);
        cout<<"value : "<<value<<endl;
    }
    return 0;
}