机器学习(5)之牛顿算法

机器学习(5)之牛顿算法

1. 牛顿迭代算法简介

    设r是的根，选取

作为r的初始近似值，过点

做曲线

的切线L，L的方程为

，求出L与x轴交点的横坐标

，

称x

₁

为r的一次近似值。

过点

做曲线

的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标

，称

为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中，

称为r的

次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

    用牛顿迭代法解非线性方程，是把非线性方程线性化的一种近似方法。把

在点

的某邻域内展开成泰勒级数

，取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即

，以此作为非线性方程

的近似方程，若

，则其解为

， 这样，得到牛顿迭代法的一个迭代关系式

。

 

 

 

 

牛顿方法应用于机器学习：

 

 

 

 

 

 

1. 使用这个方法需要f满足一定条件，适用于Logistic回归和广义线性模型

2. 一般初始化为0

2. 在Logistic的应用

    在Logistic回归中，我们要使得对数最大似然值最大，即求为0时的Θ，根据上述推论，更新规则如下： 

    

   牛顿方法的收敛速度：二次收敛

   每次迭代使解的有效数字的数目加倍：假设当前误差是0.01，一次迭代后，误差为0.001，再一次迭代，误差为0.0000001。该性质当解距离最优质的足够近才会发现。

3. 牛顿方法的一般化

Θ是一个向量而不是一个数字，一般化的公式为：

 

是目标函数的梯度，H为Hessian矩阵，规模是n*n，n为特征的数量，它的每个元素表示一个二阶导数：

 

上述公式的意义就是，用一个一阶导数的向量乘以一个二阶导数矩阵的逆

优点：若特征数和样本数合理，牛顿方法的迭代次数比梯度上升要少得多

缺点：每次迭代都要重新计算Hessian矩阵，如果特征很多，则H矩阵计算代价很大