主定理

(摘自《算法导论》)

主定理:

    若T(n)由递归式T(n)=aT(n/b)+f(n)对非负整数定义,其中a≥1,b>1为常数,f(n)为一函数,则:

[T(n) = left{ egin{array}{l}
Theta ({n^{{{log }_b}a}}),exists varepsilon > 0,f(n) = O({n^{{{log }_b}a - varepsilon }})\
Theta ({n^{{{log }_b}a}}lg n),f(n) = Theta ({n^{{{log }_b}a}})\
Theta (f(n)),exists varepsilon > 0,f(n) = Omega {kern 1pt} ({n^{{{log }_b}a + varepsilon }}){kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} and{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} exists c < 1,{n_0} > 0,for{kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} {kern 1pt} n > {n_0},af(n/b) le cf(n)
end{array} ight.]

注意: [主定理并不能解决所有形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的问题,在第1,3种情况,f(n)必须多项式地小于(大于){n^{{{log }_b}a}},即f(n)和{n^{{{log }_b}a}}之间差{n^varepsilon }以上]

    例如:T(n)=2T(n/2)+nlogn,虽然nlogn=Ω(n),但找不到一个ε满足:

[f(n) = nlog n = Omega ({n^{{{log }_b}a - varepsilon }}) = Omega ({n^{1 - varepsilon }})]

    也就是说,

[f(n)/{n^{{{log }_b}a}}{ m{渐进小于}}{n^varepsilon }]

    处于第2和第3种情况之间,此时不能使用主定理.