递推思路：
斐波那契(Fibonacci)数列
从第三项开始，每一项都是前两项之和，Fn=Fn− 1 +Fn − 2。（其中F0=0，F1=1是初始值我称为初始矩阵也即递归出口，其实就是一列初始已知条件）
我们可以把要求的第n项值Fn写成一个Fn和Fn − 1的2×1矩阵（也就是我们想要的目标矩阵），结果Fn就是矩阵中第一个元素。
Fn 构造矩阵法关键,根据斐波那契递推关系,我们可以构建一个2*2的矩阵A* Fn-1(下一项)=Fn(本身)
Fn-1 Fn-2 Fn-1
Fn又等于Fn-1+Fn-2，可变为
Fn-1+Fn-2 即 1*Fn-1+1*Fn-2
Fn-1 1*Fn-1+0*Fn-2
这就是关键，这便可以看作2个矩阵相乘后的结果，即
1 1 Fn-1
1 0 Fn-2
如此转换矩阵（即底数base矩阵）就推出来了，之后在递推，下一项Fn-1也可以写成一个Fn-1和Fn-2的矩阵，直到已知的F1,F0停止返回值
所以说Fn共推了n-1次到F1，F0得出结果，即转换矩阵base的n-1次方*初始矩阵（一列初始已知条件）！又因为初始矩阵第二元素为0，所以只考虑第一个元素相乘就行，所以Fn最终结果为base矩阵的n-1次方阵中的第一个元素
这样就推完了，用上矩阵快速幂（ps：要用到单位矩阵，相当于1的作用）即可快速求得数列结果！
这种方法求的结果很大，一般要对某个数取模
关键是根据题中递推关系构造出底数矩阵！
这里以51nod1242求斐波那契数列第n项为例（矩阵快速幂运用）
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 const int maxn=3; 7 const int mod=1e9+9; 8 struct jz 9 { 10 ll a[maxn][maxn]; 11 }base,unit; //底数矩阵，单位矩阵 12 13 jz operator*(jz aa,jz bb)//重载函数* 14 { 15 jz c; 16 for(ll i=1;i<=maxn-1;i++) 17 { 18 for(ll j=1;j<=maxn-1;j++) 19 { 20 ll t=0; 21 for(ll k=1;k<=maxn-1;k++) t=(t%mod+aa.a[i][k]%mod*bb.a[k][j]%mod)%mod; 22 c.a[i][j]=t%mod; 23 } 24 } 25 26 return c; 27 } 28 29 jz ksm(jz base,ll b) 30 { 31 jz r=unit; 32 while(b) 33 { 34 if(b&1) r=r*base; 35 base=base*base; 36 b>>=1; 37 } 38 39 return r; 40 } 41 42 int main() 43 { 44 base.a[1][1]=1;base.a[1][2]=1;//初始化工作 45 base.a[2][1]=1;base.a[2][2]=0; 46 unit.a[1][1]=1;unit.a[2][2]=1; 47 48 ll n; 49 cin>>n; 50 if(n==0) cout<<'0'<<endl; 51 else if(n==1) cout<<'1'<<endl; 52 else 53 { 54 jz ans=ksm(base,n-1); 55 //cout<<ans.a[1][1]<<endl; 写成这样也行,但最好写成下面便于理解的(不要省了) 56 cout<<ans.a[1][1]*1+ans.a[1][2]*0<<endl; 57 } 58 59 return 0; 60 }
还有稍微延申的题洛谷P1939
分析和思路：
这道题主要难度就是构造底数矩阵，构造出来是3维的
Fn Fn=Fn-1*1+Fn-2*0+Fn-3*1
Fn-1 这是我们想要的目标矩阵 Fn-1=Fn-1*1+Fn-2*0+Fn-3*0 这是构造过程
Fn-2 Fn-2=Fn-1*0+Fn-2*1+Fn-3*0
所以可得底数矩阵 1 0 1
1 0 0
0 1 1
那么这题就完了，套用快速幂公式即可
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 const int maxn=4; 7 const int mod=1e9+7; 8 struct jz 9 { 10 ll a[maxn][maxn]; 11 }base,unit; //底数矩阵，单位矩阵 12 13 jz operator*(jz aa,jz bb)//重载函数* 14 { 15 jz c; 16 for(ll i=1;i<=maxn-1;i++) 17 { 18 for(ll j=1;j<=maxn-1;j++) 19 { 20 ll t=0; 21 for(ll k=1;k<=maxn-1;k++) t=(t%mod+aa.a[i][k]%mod*bb.a[k][j]%mod)%mod; 22 c.a[i][j]=t%mod; 23 } 24 } 25 26 return c; 27 } 28 29 jz ksm(jz base,ll b) 30 { 31 jz r=unit; 32 while(b) 33 { 34 if(b&1) r=r*base; 35 base=base*base; 36 b>>=1; 37 } 38 39 return r; 40 } 41 42 int main() 43 { 44 base.a[1][1]=1;base.a[1][2]=0;base.a[1][3]=1;//初始化工作 45 base.a[2][1]=1;base.a[2][2]=0;base.a[2][3]=0; 46 base.a[3][1]=0;base.a[3][2]=1;unit.a[3][3]=0; 47 48 unit.a[1][1]=1;unit.a[2][2]=1;unit.a[3][3]=1; 49 50 int T; 51 cin>>T; 52 while(T--) 53 { 54 ll n; 55 cin>>n; 56 if(n==1 || n==2 || n==3) cout<<'1'<<endl; 57 else 58 { 59 jz ans=ksm(base,n-3); 60 cout<<(ans.a[1][1]*1+ans.a[1][2]*1+ans.a[1][3]*1)%mod<<endl; 61 } 62 } 63 64 return 0; 65 }
套路一样，但有几个注意地方！
注意：因为最开始已知2数为1,1,后面不是0，所以最终结果不是a[1][1]，而是a[1][1]+a[1][2]！！（即必须*一列初始已知条件）
还有//注意:从3开始,所以N-2次方(而斐波那从2开始刚好N-1次方),计算从第3项时运算了几次幂即可分清楚！
1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 const int maxn=3; 7 const int mod=7; 8 int A,B,N; 9 struct jz 10 { 11 ll a[maxn][maxn]; 12 }base,unit; //底数矩阵,单位矩阵 13 14 jz operator*(jz aa,jz bb)//重载函数* 15 { 16 jz c; 17 for(ll i=1;i<=maxn-1;i++) 18 { 19 for(ll j=1;j<=maxn-1;j++) 20 { 21 ll t=0; 22 for(ll k=1;k<=maxn-1;k++) 23 { 24 t=(t+aa.a[i][k]*bb.a[k][j])%mod; 25 t=(t+mod)%mod; 26 } 27 c.a[i][j]=t%mod; 28 } 29 } 30 31 return c; 32 } 33 34 jz ksm(jz base,ll b) 35 { 36 jz r=unit; 37 while(b) 38 { 39 if(b&1) r=r*base; 40 base=base*base; 41 b>>=1; 42 } 43 44 return r; 45 } 46 47 int main() 48 { 49 cin>>A>>B>>N; 50 base.a[1][1]=A;base.a[1][2]=B;//初始化工作 51 base.a[2][1]=1;base.a[2][2]=0; 52 unit.a[1][1]=1;unit.a[2][2]=1; 53 54 if(N==1 || N==2) cout<<'1'<<endl; 55 else 56 { 57 jz ans=ksm(base,N-2); 58 cout<<(ans.a[1][1]*1+ans.a[1][2]*1)%mod<<endl; 59 } 60 61 return 0; 62 }
到这应该是最终麻烦的终极版本了吧：
和51nod1126相乘相同的一道题，只不过递推项更多，递推难度加大，更注重精确地考察了矩阵快速幂几点规律
If x < 10： f(x) = x.
If x >= 10 ：f(x) = a0 *f(x-1) + a1* f(x-2) + a2 *f(x-3) + …… + a9* f(x-10);
ai(0<=i<=9) 只能是0或者1
现在求 f(n)%mod 的值
1 #include <iostream> 2 #include <string> 3 #include <algorithm> 4 #include <iomanip> 5 #include <cstdio> 6 #include <cstring> 7 #include <cmath> 8 using namespace std; 9 typedef long long llo; 10 typedef unsigned long long ull; 11 const int maxn=11; 12 llo n; 13 int mod; 14 int A[11]; 15 struct jz 16 { 17 llo a[maxn][maxn]; 18 }base,unit; //底数矩阵，单位矩阵 19 jz operator *(jz aa,jz bb) 20 { 21 jz c; 22 for(llo i=1;i<=maxn-1;i++) 23 { 24 for(llo j=1;j<=maxn-1;j++) 25 { 26 llo t=0; 27 for(llo k=1;k<=maxn-1;k++) t=(t%mod+aa.a[i][k]%mod*bb.a[k][j]%mod)%mod; 28 c.a[i][j]=t%mod; 29 } 30 } 31 32 return c; 33 } 34 35 jz ksm(jz base,llo b) 36 { 37 jz r=unit; 38 while(b) 39 { 40 if(b&1) r=r*base; 41 base=base*base; 42 b>>=1; 43 } 44 45 return r; 46 } 47 48 void Init() 49 { 50 base.a[1][1]=A[1];base.a[1][2]=A[2];base.a[1][3]=A[3]; 51 base.a[1][4]=A[4];base.a[1][5]=A[5];base.a[1][6]=A[6]; 52 base.a[1][7]=A[7];base.a[1][8]=A[8];base.a[1][9]=A[9];base.a[1][10]=A[10];//1.(列到x-10!)*的是系数放在第一行,放完共10列(这里是正着*!!) 53 base.a[2][1]=1;base.a[3][2]=1;base.a[4][3]=1;//(行到x-9列到x-9)下面行的系数好说基本都是每行一个1,放完9行(+第一行也是10行) 54 base.a[5][4]=1;base.a[6][5]=1;base.a[7][6]=1; 55 base.a[8][7]=1;base.a[9][8]=1;base.a[10][9]=1; 56 57 unit.a[1][1]=1;unit.a[2][2]=1;unit.a[3][3]=1;//单位矩阵初始化很简单 58 unit.a[4][4]=1;unit.a[5][5]=1;unit.a[6][6]=1; 59 unit.a[7][7]=1;unit.a[8][8]=1;unit.a[9][9]=1;unit.a[10][10]=1; 60 61 } 62 63 64 int main() 65 { 66 while(cin>>n>>mod) 67 { 68 for(int i=1;i<=10;i++) cin>>A[i]; 69 Init(); 70 //3.n-9次幂从第几项开始推,试试这项运算了几次(如f(10)就运算了一次，所以一次幂直接*放好的底数矩阵就行!) 71 jz ans=ksm(base,n-9);//2.注意:最后*的是已知初始序列值(系数已经*过了),不是系数,开始一直错~~~因为最后是x-1,x-2...x-9往下排,所以值是反着*! 72 cout<<(ans.a[1][1]*9+ans.a[1][2]*8+ans.a[1][3]*7+ans.a[1][4]*6+ans.a[1][5]*5+ans.a[1][6]*4+ans.a[1][7]*3+ans.a[1][8]*2+ans.a[1][9]*1+ans.a[1][10]*0)%mod<<endl; 73 } 74 75 return 0; 76 }
完。