BZOJ1135:[POI2009]Lyz(线段树,Hall定理)

Description

初始时滑冰俱乐部有1到n号的溜冰鞋各k双。已知x号脚的人可以穿x到x+d的溜冰鞋。有m次操作，每次包含两个数ri，xi代表来了xi个ri号脚的人。xi为负，则代表走了这么多人。对于每次操作，输出溜冰鞋是否足够。

Input

n m k d ( 1≤n≤200,000 ， 1≤m≤500,000 ， 1≤k≤10^9 ， 0≤d≤n ) ri xi （ 1≤i≤m， 1≤ri≤n-d ， |xi|≤10^9 ）

Output

对于每个操作，输出一行，TAK表示够 NIE表示不够。

Sample Input

4 4 2 1
1 3
2 3
3 3
2 -1

Sample Output

TAK
TAK
NIE
TAK

Solution

这还是第一次听说$Hall$定理……

$Hall$定理：设一个二分图左边有$n$个点，右边有$m$个点，则左边$n$个点能完全匹配的充要条件是：对于$1<=i<=n$,左面任意$i$个点，都至少有$i$个右面的点与它相连。

那么考虑把鞋码相同的人放到一起，设鞋码为$i$的有$a[i]$个人。

贪心的想这个题，肯定是选二分图左边一段连续区间才更容易匹配无解。

所以由$Hall$定理得，不合法的话是存在一组$l,r$，满足

$sum_{i=l}^{r} a[i]>(r-l+1+d)*k$。

把右边的$(r-l+1)*k$移到左边，并且设$c[i]=a[i]-k$，则有

$sum_{i=l}^{r} c[i]>d*k$。

由于$d*k$是定值，所以我们只需要用一个维护最大子段和的线段树就可以判断是否合法了。

Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #define N (200009)
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct Sgt{LL lmax,rmax,max,val;}Segt[N<<2];
 8 LL n,m,k,d,r,x,a[N];
 9 
10 void Pushup(LL now)
11 {
12     LL ls=now<<1,rs=now<<1|1;
13     Segt[now].val=Segt[ls].val+Segt[rs].val;
14     Segt[now].lmax=max(Segt[ls].lmax,Segt[ls].val+Segt[rs].lmax);
15     Segt[now].rmax=max(Segt[rs].rmax,Segt[rs].val+Segt[ls].rmax);
16     Segt[now].max=max(max(Segt[ls].max,Segt[rs].max),Segt[ls].rmax+Segt[rs].lmax);
17 }
18 
19 void Update(LL now,LL l,LL r,LL x,LL v)
20 {
21     if (l==r)
22     {
23         Segt[now].val+=v; Segt[now].max+=v;
24         Segt[now].lmax+=v; Segt[now].rmax+=v;
25         return;
26     }
27     LL mid=(l+r)>>1;
28     if (x<=mid) Update(now<<1,l,mid,x,v);
29     else Update(now<<1|1,mid+1,r,x,v);
30     Pushup(now);
31 }
32 
33 int main()
34 {
35     scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&d);;
36     for (int i=1; i<=n; ++i) Update(1,1,n,i,-k);
37     for (int i=1; i<=m; ++i)
38     {
39         scanf("%lld%lld",&r,&x);
40         Update(1,1,n,r,x);
41         puts(Segt[1].max>k*d?"NIE":"TAK");
42     }
43 }