BZOJ1096:[ZJOI2007]仓库建设(斜率优化DP)

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Solution

f[i]表示在i建设仓库的最小花费
f[i]=f[j]+cost(j+1,i)
cost可以用后缀和搞一下
f[i]=min( f[i], f[j] + cost[j+1]-cost[i]-(sump[j+1]-sump[i])*sumx[i]  +c[i] );

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N (1000000+100)
#define LL long long
using namespace std;
LL f[N],sump[N],sumx[N],x[N],p[N],c[N],cost[N],n;
LL q[N],head,tail;

LL K(LL j) {return -sump[j+1];}
LL B(LL j) {return f[j]+cost[j+1];}
LL Y(LL i,LL j) {return K(j)*sumx[i]+B(j);}

bool cover(LL x1,LL x2,LL x3)
{
    LL w1=(K(x3)-K(x1))*(B(x1)-B(x2));
    LL w2=(K(x2)-K(x1))*(B(x1)-B(x3));
    return w1>=w2;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
    for (int i=n;i>=1;--i)
    {
        sump[i]=sump[i+1]+p[i];//i到n的产品和 
        sumx[i]=x[n]-x[i];//i到n的距离 
    }
    for (int i=n-1;i>=0;--i)
        cost[i]=cost[i+1]+p[i]*sumx[i];//cost[i]表示i..n物品都运到n的总花费 
    head=1,tail=1;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        while (head<tail && Y(i,q[head])>=Y(i,q[head+1])) head++;
        f[i]=Y(i,q[head])-cost[i]+sump[i]*sumx[i]+c[i];
        while (head<tail && cover(i,q[tail],q[tail-1])) tail--;
        q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]); 
}