BZOJ2431:[HAOI2009]逆序对数列(DP,差分)

Description

对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的

数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3

样例说明：
下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；
100%的数据 n<=1000，k<=1000

Solution

在机房看听了一上午的World Final……
很容易设计出状态f[i][j]表示i个数有j个逆序对的方案数
假设当前放了i-1个数，该放第i个数了。
因为第i个数是最大的，所以将其放到队列最右边可以额外产生0个逆序对，放到最左边可额外产生i-1个
故放第i个数可以增加0~i-1个逆序对
那么f[i][j]=sigma(f[i-1][k]),其中max(0,j-i+1)<=k<=j
很容易写出一个n^3的暴力

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N (1000+10)
using namespace std;
int f[N][N],n,m;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][0]=1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=0; j<=m; ++j)
            for (int k=max(0,j-i+1); k<=j; ++k)
                (f[i][j]+=f[i-1][k])%=10000;
    printf("%d",f[n][m]);        
}

然而n^3暴力肯定过不了1000的。不过有90。
我们发现暴力的第三重循环只是查询f[i-1][]的一段，
我们只需要一边DP一边计算前缀和，那么就可以用前缀和优化掉第三重循环了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N (1000+10)
using namespace std;
int f[N][N],sum[N][N],n,m;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0; i<=m; ++i) 
        sum[0][i]=1;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=0; j<=m; ++j)
        {
            f[i][j]=(j-i>=0) ? (sum[i-1][j]-sum[i-1][j-i]+10000)%10000 : sum[i-1][j];
            sum[i][j]=(sum[i][j-1]+f[i][j])%10000;
        }
    printf("%d",f[n][m]);        
}