Description
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Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
Sample Input
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
Solution
首先要知道一点,就是对于一个点$(x,y)$来说,ta到起点的连线会经过$gcd(x,y)-1$个点(不包含本身)为什么我也不会证,不过感性理解非常正确
所以题目就成了求$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}2*(gcd(i,j)-1)+1$
化简一下就成了$2*sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$
也就是求出$sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$题目就结束了 。
以下假设n<m
$sum_{i=1}^n sum_{j=1}^mgcd(i,j)$
$=sum_{p=1}^{n} p sum_{i=1}^n sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=p]$
$=sum_{p=1}^npsum_{i=1}^{left lfloor frac{n}{p} ight floor}sum_{j=1}^{left lfloor frac{m}{p} ight floor}[gcd(i,j)=1]$
$=sum_{p=1}^npsum_{i=1}^{left lfloor frac{n}{p} ight floor}sum_{j=1}^{left lfloor frac{m}{p} ight floor}sum_{d|gcd(a,b)}mu(d)$
$=sum_{p=1}^npsum_{d=1}^{left lfloor frac{n}{p} ight floor}mu(d){left lfloor frac{n}{pd} ight floor}{left lfloor frac{m}{pd} ight floor}$
设$pd=T$
$=sum_{T=1}^{n}{left lfloor frac{n}{T} ight floor}{left lfloor frac{m}{T} ight floor}sum_{p|T}p*mu(frac{T}{p})$
$=sum_{T=1}^{n}{left lfloor frac{n}{T} ight floor}{left lfloor frac{m}{T} ight floor}φ(T)$
$sum_{p|T}p*mu(frac{T}{p})=φ(T)$好像是因为用到了求欧拉函数的时候容斥的思想QAQ……
Code
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #define N (100000) 4 using namespace std; 5 6 long long ans,n,m,sum[N+5],phi[N+5]; 7 8 void Get_phi() 9 { 10 phi[1]=1; 11 for (int i=2; i<=N; ++i) 12 if (!phi[i]) 13 for (int j=i; j<=N; j+=i) 14 { 15 if (!phi[j]) phi[j]=j; 16 phi[j]=phi[j]/i*(i-1); 17 } 18 for (int i=1; i<=N; ++i) sum[i]=sum[i-1]+phi[i]; 19 } 20 21 int main() 22 { 23 scanf("%lld%lld",&n,&m); 24 if (n>m) swap(n,m); 25 Get_phi(); 26 for (int l=1,r; l<=n; l=r+1) 27 { 28 r=min(n/(n/l),m/(m/l)); 29 ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l); 30 } 31 printf("%lld ",2*ans-n*m); 32 }