BZOJ1485:[HNOI2009]有趣的数列(卡特兰数)

Description

 我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：

    (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{a_i}；

    (2)所有的奇数项满足a₁<a₃<…<a_2n-1，所有的偶数项满足a₂<a₄<…<a_2n；

    (3)任意相邻的两项a_2i-1与a_2i(1≤i≤n)满足奇数项小于偶数项，即：a_2i-1<a_2i。

    现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。

Input

输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n≤1000，100%的数据满足n≤1000000且P≤1000000000。

Output

仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。

Sample Input

3 10

Sample Output

5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。

Solution 

卡特兰数。每次找最前面的奇数/偶数位置放，显然若偶数位不多于奇数位就是合法的，然后就成了卡特兰数。

我才不会说我一开始是先直接猜了个卡特兰数交上去的

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N (2000009)
#define LL long long
using namespace std;

LL n,MOD,cnt,ans=1,prime[N],Keg[N],d[N];

void Euler()
{
    for (int i=2; i<=2*n; ++i)
    {
        if (!d[i]){d[i]=i; prime[++cnt]=i;}
        for (int j=1; j<=cnt && i*prime[j]<=2*n; ++j)
        {
            d[i*prime[j]]=prime[j];
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

void Divide(LL x,int opt)
{
    while (x!=1) Keg[d[x]]+=opt,x/=d[x];
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&MOD);
    Euler();
    for (int i=n+1; i<=2*n; ++i) Divide(i,1);
    for (int i=1; i<=n; ++i) Divide(i,-1);
    Divide(n+1,-1);
    for (int i=2; i<=2*n; ++i)
        for (int j=1; j<=Keg[i]; ++j)
            ans=ans*i%MOD;
    printf("%lld
",ans);
}