BZOJ1048:[HAOI2007]分割矩阵(记忆化搜索DP)

Description

将一个a*b的数字矩阵进行如下分割：将原矩阵沿某一条直线分割成两个矩阵，再将生成的两个矩阵继续如此分割（当然也可以只分割其中的一个），

这样分割了（n-1)次后，原矩阵被分割成了n个矩阵。（每次分割都只能沿着数字间的缝隙进行）

原矩阵中每一位置上有一个分值，一个矩阵的总分为其所含各位置上分值之和。

现在需要把矩阵按上述规则分割成n个矩阵，并使各矩阵总分的均方差最小。请编程对给出的矩阵及n，求出均方差的最小值。

Input

第一行为3个整数，表示a,b,n(1<a,b<=10,1<n<=10）的值。
第二行至第n+1行每行为b个小于100的非负整数，表示矩阵中相应位置上的分值。每行相邻两数之间用一个空格分开。

Output

仅一个数，为均方差的最小值（四舍五入精确到小数点后2位）

Sample Input

5 4 4
2 3 4 6
5 7 5 1
10 4 0 5
2 0 2 3
4 1 1 1

Sample Output

0.50

Solution

平均值一开始可以直接算，然后直接记忆化搜索就好了。

$f[a][b][c][d][k]$表示左上角为$(a,b)$，右下角为$(c,d)$的矩形被划分了$k$次后的最小答案。

Code

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N (12)
using namespace std;

double ave,f[N][N][N][N][N];
int n,m,p,x,sum[N][N];

double Dfs(int a,int b,int c,int d,int k)
{
    double &x=f[a][b][c][d][k];
    if (x>=0) return x;
    if (k==0)
    {
        x=sum[c][d]-sum[c][b-1]-sum[a-1][d]+sum[a-1][b-1];
        return x=(x-ave)*(x-ave);
    }
    x=1e18;
    for (int i=a+1; i<=c; ++i)
        for (int j=0; j<k; ++j)
            x=min(x,Dfs(a,b,i-1,d,j)+Dfs(i,b,c,d,k-j-1));
    for (int i=b+1; i<=d; ++i)
        for (int j=0; j<k; ++j)
            x=min(x,Dfs(a,b,c,i-1,j)+Dfs(a,i,c,d,k-j-1));
    return x;
}

int main()
{
    memset(f,-0x7f,sizeof(f));
    cin>>n>>m>>p;
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=1; j<=m; ++j)
        {
            scanf("%d",&x);
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+x;
        }
    ave=sum[n][m]*1.0/p;
    Dfs(1,1,n,m,p-1);
    printf("%.2lf",sqrt(f[1][1][n][m][p-1]/p));
 }