从实例中了解动态规划的基本思想

写在最前面

当时大学开的那么多算法课为啥一节都不好好听讲！

什么是动态规划

动态规划，是一种解决棘手问题的方法，它将问题分成小问题，并从解决小问题作为起点，从而解决最终问题的一种方法。

看不明白没关系，后面我们会从几个实例中逐渐让大家摸清规律。

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问题一 爬梯子问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

• 示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

• 示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

你可能会这么想

走1阶台阶只有一种走法，但是走2阶台阶有两种走法（如示例1），如果n是双数，我们可以凑成m个2级台阶，每个m都有两种走法，如果n是单数，那么我们可以凑成m个2级台阶加上一个1级台阶，这样就似乎于一个排列组合题目了，但是开销貌似比较大。

如何将整个问题化成一个一个的小问题

这个时候使用动态规划就很有用，因为这个问题其实是由一个很简单的小问题组成的。
观察这种小问题，简单地我们可以采用首位或者中间态进行一次分析，比如我们从最终态进行分析：

走N阶台阶，最后一步必定是1步或者2步到达。

那么N阶台阶的走法不就相当于最后走一步和最后走两步的走法的总和吗？换一种方式来说，我们取一个中间态：如果总共有3级台阶，3级台阶的走法只会存在两种大的可能：走了1阶台阶+走两步、走了两级台阶+走一步，即3级台阶的所有走法就是走了1阶台阶的走法加上走了2阶台阶的走法，而1阶台阶的走法只有一种，2阶台阶的走法有2种，所有3阶台阶的走法有3种,我们使用一种更通用的方式进行表达的话就是所谓的状态转换方程：

$ ways[n]=ways[n-1]+ways[n-2] $

有了这个公式，我们就可以使用迭代来完成整个过程，寻求到最终的ways[n]的值了，迭代的开始即我们已知的确定条件：一阶台阶只有一种走法：ways[1]=1、两阶台阶有两种走法：ways[2]=2，代码如下：

实现代码

public int climbStairs(int n) {
	if(n==1){
		return 1;
	}else if(n==2){
		return 2;
	}
	//避免使用0，即下标从1开始，更好理解
	int ways[]=new int[n+1];
	//赋值迭代初始条件
	ways[1]=1;
	ways[2]=2;
	//利用状态转换方式进行迭代
	for(int i=3;i<=n;i++){
		ways[i]=ways[i-1]+ways[i-2];
	}
	return ways[n];
}

基本流程

从上面的解决途径我们可以发现基本流程是这样的：

• 从一个现实方案中找到状态转换的特有规律
• 从特有规律中提取出状态转换方程
• 找到状态转换方程的迭代初始值（确定值）
• 解决问题

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问题二 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

• 示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

• 示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解决方法

相信沿用问题一的套路很多人已经知道该怎么办了，从一个二维数组的左上（0，0）走到右下（m,n）有多少种走法，且只能往右和往下走，那么如果要走到（m,n），那么我们的上一步只能是（m-1,n）或者（m,n-1），所以走到（m,n）的所有走法就是走到（m-1,n）的所有走法+走到(m,n-1)的所有走法，即可以得到状态转换方程：

$ ways[m][n]=ways[m-1][n]+ways[m][n-1] $

但是，这个问题还有一些其他的问题限制需要我们考虑到，即走到两侧的时候，只会有一个方向的走法，（上方只会有ways[m-1][n]一个方式，左侧只会有ways[m][n-1]一个方式）即下图：

我们需要对这两种方式进行限制，在这里我在外围再扩展了一圈，将整个方格扩展为(m+1)*(n+1)的方格，来避开限制，当然也可以直接限制（后续会讲到），但是将其所有的值都设置为0，即相当于设置了限制。

实现代码

public static int uniquePaths(int m, int n) {
	int[][] ways=new int[m+1][n+1];
	//上方扩展一行，使其值为0
	for(int i=0;i<=n;i++){
		ways[0][i]=0;
	}
	//边上扩展一列，使其值为0
	for(int j=0;j<=m;j++){
		ways[j][0]=0;
	}
	//设置初始值，起点走法为1，只能一步一步走
	ways[1][1]=1;
	for(int a=1;a<=m;a++){
		for(int b=1;b<=n;b++){
			if(a==1&&b==1){
				continue;
			}
			//套用状态转换方程
			ways[a][b]=ways[a][b-1]+ways[a-1][b];
		}
	}
	return ways[m][n];
}

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问题三 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

• 示例:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

解决方法

这个问题与问题二及其相似，但是其涉及到一个最优解的问题，现在每一个点都有一个类似权重的值，我们要使这个值最小，其实用问题二的想法，我们很快就能得到答案：走到(m,n)只能从(m-1,n)和(m,n-1)两个地方走过来，那么要保证(m,n)的权重最小，那么我们只需要选择走到(m-1,n)和（m，n-1）权重较小的那一边即可，那么我们就可以得到新的状态转移方程：

$ sum[m][n]=MIN(sum[m-1][n],sum[m][n-1])+table[m][n] $

即 走到当前点的权重=走到前一步权重的较小值+当前点的权重
，并且该问题也有针对边上元素的特殊处理

代码

public static int minPathSum(int[][] grid) {
	//权重存储数组
	int[][] sum=new int[grid.length][grid[0].length];
	//起点初始权重确定值
	sum[0][0]=grid[0][0];
	for(int i=0;i<grid.length;i++){
		for(int j=0;j<grid[0].length;j++){
			if(i==0&&j==0){
				continue;
			}
			//边上的权重处理
			if(i-1<0){
				sum[i][j]=sum[i][j-1]+grid[i][j];
			}else if(j-1<0){
				sum[i][j]=sum[i-1][j]+grid[i][j];
			}else{
				sum[i][j]=Math.min(sum[i-1][j],sum[i][j-1])+grid[i][j];
			}
		}
	}
	return sum[grid.length-1][grid[0].length-1];
}

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问题四 三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

• 例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

解决方法

这个问题可以理解为问题三的变种，但是他没有一个固定的终点，因为我们之前的方法都是从最后一步开始分析的，所以很多人也就对该问题无从下手了。但是其实我们也可以将最后一行的任何一个元素作为终点，因为该问题起点确定，并且终点必定在最后一行。但是为了代表性，我们还是选取1或8为例子，如果最终达到1，需要上一排达到6或5。如果要达到5，那么需要上一排达到3或4，所以我们由此可以得到该问题的状态转移方程：

$ sum[m][n]=MIN(sum[m-1][n-1],sum[i-1][j])+table[m][n] $

这样我们就可以根据问题三的模式找到达到最后一排所有可能终点（4，1，8，3）的最小权重，我们再从所有权重中选取最小值即可,该问题也有针对边上元素的特殊处理。

实现代码

public static int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
	//创建状态存储数组
	int[][] sum=new int[triangle.size()][triangle.size()];
	//起点确定，权重确定
	sum[0][0]=triangle.get(0).get(0);
	for(int i=0;i<triangle.size();i++){
		for(int j=0;j<triangle.get(i).size();j++){
			if(i==0&&j==0){
				continue;
			}
			//边上元素的特殊处理
			if(j==0){
				sum[i][j]=sum[i-1][j]+triangle.get(i).get(j);
			}
			if(j==triangle.get(i).size()-1){
				sum[i][j]=sum[i-1][j-1]+triangle.get(i).get(j);
			}
			if(j!=0&&j!=triangle.get(i).size()-1){
				sum[i][j]=Math.min(sum[i-1][j-1],sum[i-1][j])+triangle.get(i).get(j);
			}
		}
	}
	//针对最后一行，选择最小的权重和
	int min=1000000000;
	for(int a=0;a<sum[sum.length-1].length;a++){
		if(sum[sum.length-1][a]<min){
			min=sum[sum.length-1][a];
		}
	}
	return min;
}

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动态规划可用的总结

（参考《算法图解》）

• 需要在给定约束条件下优化某种指标时，动态规划很有用。
• 问题可分解为离散子问题时，可使用动态规划来解决。
• 每种动态规划解决方案都涉及网格。
• 单元格中的值通常就是你要优化的值。
• 每个单元格都是一个子问题，因此你需要考虑如何将问题分解为子问题。
• 没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。