BZOJ 2662: [BeiJing wc2012]冻结

Description

“我要成为魔法少女！”
“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”
“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符
卡）带来的便捷。

现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？
比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关
键字来查询，会有很多有趣的结果。
例如，我们熟知的Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。当然，
更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小
巫见大巫了。
这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi
Homura、Sakuya Izayoi、„„
当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。

我们考虑最简单的旅行问题吧：现在这个大陆上有 N 个城市，M 条双向的
道路。城市编号为 1~N，我们在 1 号城市，需要到 N 号城市，怎样才能最快地
到达呢？
这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、
Floyd-Warshall等算法来解决。
现在，我们一共有 K 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通
过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间
就可以减少到原先的一半。需要注意的是：
1. 在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
2. 使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
3. 你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过 K 张时间减速的
SpellCard 之情形下，从城市1 到城市N最少需要多长时间。

Input

第一行包含三个整数：N、M、K。
接下来 M 行，每行包含三个整数：Ai、Bi、Timei，表示存在一条 Ai与 Bi之
间的双向道路，在不使用 SpellCard 之前提下，通过它需要 Timei的时间。

Output

输出一个整数，表示从1 号城市到 N号城市的最小用时。

Sample Input

4 4 1
1 2 4
4 2 6
1 3 8
3 4 8

Sample Output

7
【样例1 解释】
在不使用 SpellCard 时，最短路为 1à2à4，总时间为 10。现在我们可
以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过 2à4 这条道路的时间减半，此时总
时间为7。

HINT

对于100%的数据：1 ≤ K ≤ N ≤ 50，M ≤ 1000。

1≤ Ai，Bi ≤ N，2 ≤ Timei ≤ 2000。

为保证答案为整数，保证所有的 Timei均为偶数。

所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。

题解：

　　最短路分层图裸题，构造k+1层图，每次向上一层连一条单向边（权值/2），表示用过一次机会，跑遍最短路就以了。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<cmath>
#define MAXN 200100
#define long long
using namespace std;

struct edge{
    int first;
    int next;
    int quan;
    int to;
}a[MAXN*2];

int n,m,k,num=0;
int have[MAXN],dis[MAXN];
queue<int> q;

void addedge(int from,int to,int quan){
    a[++num].to=to;
    a[num].quan=quan;
    a[num].next=a[from].first;
    a[from].first=num;
}

void link(int x,int y,int z){
    addedge(x,y,z);
    addedge(y,x,z);
}

void spfa(){
    memset(dis,127,sizeof(dis));
    memset(have,0,sizeof(have));
    while(!q.empty()) q.pop();
    dis[1]=0;have[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();have[now]=0;
        for(int i=a[now].first;i;i=a[i].next){
            int to=a[i].to,quan=a[i].quan;
            if(dis[to]>dis[now]+quan){
                dis[to]=dis[now]+quan;
                if(!have[to]){
                    have[to]=1;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        for(int now=1;now<=k;now++){
            link(x+(now-1)*n,y+(now-1)*n,z);
            addedge(x+(now-1)*n,y+(now)*n,z/2);
            addedge(y+(now-1)*n,x+now*n,z/2);
        }
        link(x+k*n,y+k*n,z);
    }
    spfa();
    int ans=dis[0];
    for(int i=1;i<=k+1;i++){
        ans=min(ans,dis[n*i]);
    }
    printf("%d",ans);
}