斯坦福大学机器学习第四课"多变量线性回归“学习笔记，本次课程主要包括7部分：
1) Multiple features(多维特征)
2) Gradient descent for multiple variables(梯度下降在多变量线性回归中的应用)
3) Gradient descent in practice I: Feature Scaling(梯度下降实践1：特征归一化)
4) Gradient descent in practice II: Learning rate(梯度下降实践2：步长的选择)
5) Features and polynomial regression(特征及多项式回归)
6) Normal equation(正规方程-区别于迭代方法的直接解法)
7) Normal equation and non-invertibility (optional)(正规方程在矩阵不可逆情况下的解决方法)
以下是每一部分的详细解读：
1) Multiple features(多维特征)
第二课中我们谈到的是单变量的情况，单个特征的训练样本，单个特征的表达式，总结起来如下图所示：
对于多维特征或多个变量而言：以房价预测为例，特征除了“房屋大小外”，还可以增加“房间数、楼层数、房龄”等特征，如下所示：
定义：
n = 特征数目
x(i)= 第i个训练样本的所有输入特征，可以认为是一组特征向量
x(i)j = 第i个训练样本第j个特征的值，可以认为是特征向量中的第j个值
对于Hypothesis，不再是单个变量线性回归时的公式：hθ(x)=θ0+θ1x
而是：
为了方便，记x0 = 1，则多变量线性回归可以记为：
其中θ和x都是向量。
2) Gradient descent for multiple variables(梯度下降在多变量线性回归中的应用)
对于Hypothesis:
其中参数：θ0, θ1,...,θn可表示为n+1维的向量 θ
对于Cost Function:
梯度下降算法如下:
对J(θ)求导，分别对应的单变量和多变量梯度下降算法如下：
当特征数目为1，也就是n=1时：
当特征数目大于1也就是n>1时，梯度下降算法如下：
3) Gradient descent in practice I: Feature Scaling(梯度下降实践1：特征归一化)
核心思想：确保特征在相似的尺度里。
例如房价问题：
特征1：房屋的大小（0-2000）；
特征2：房间数目（1-5）；
简单的归一化，除以每组特征的最大值，则：
目标：使每一个特征值都近似的落在−1≤xi≤1的范围内。
举例：因为是近似落在这个范围内，所以只要接近的范围基本上都可以接受，例如：
0<=x1<=3, -2<=x2<=0.5, -3 to 3, -1/3 to 1/3 都ok;
但是：-100 to 100, -0.0001 to 0.0001不Ok。
Mean Normalization(均值归一化):
用xi−μi替换xi使特征的均值近似为0（但是不对x0=1处理），均值归一化的公式是：
其中Si可以是特征的取值范围（最大值-最小值），也可以是标准差(standard deviation).
对于房价问题中的两个特征，均值归一化的过程如下：
4) Gradient descent in practice II: Learning rate(梯度下降实践2：步长的选择)
对于梯度下降算法：
需要注意两点：
-"调试”：如何确保梯度下降算法正确的执行；
-如何选择正确的步长(learning rate): α;
第二点很重要，它也是确保梯度下降收敛的关键点。要确保梯度下降算法正确运行，需要保证 J(θ)在每一步迭代中都减小，如果某一步减少的值少于某个很小的值 ϵ , 则其收敛。例如：
如果梯度下降算法不能正常运行，考虑使用更小的步长α，这里需要注意两点：
1）对于足够小的α, J(θ)能保证在每一步都减小；
2）但是如果α太小，梯度下降算法收敛的会很慢；
总结：
1）如果α太小，就会收敛很慢；
2）如果α太大，就不能保证每一次迭代J(θ)都减小，也就不能保证J(θ)收敛；
如何选择α-经验的方法：
..., 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1...
约3倍于前一个数。
5) Features and polynomial regression(特征及多项式回归)
例子-房价预测问题：
特征x1表示frontage(正面的宽度），特征x2表示depth(深度)
同时x1,x2也可以用一个特征表示：面积 Area = frontage * depth
即 hθ(x)=θ0+θ1x , x表示面积。
多项式回归:
很多时候，线性回归不能很好的拟合给定的样本点，例如：
所以我们选择多项式回归：
对于特征的选择，除了n次方外，也可以开根号，事实上也是1/2次方：
6) Normal equation(正规方程-区别于迭代方法的直接解法)
相对于梯度下降方法，Normal Equation是用分析的方法直接解决θ.
正规方程的背景：
在微积分里，对于1维的情况，如果θ 属于R:
求其最小值的方法是令：
然后得到θ.
同理，在多变量线性回归中，对于θ∈Rn+1，Cost Function是：
求取θ的思路仍然是：
对于有4组特征(m=4)的房价预测问题：
其中X 是m * (n+1)矩阵：
y是m维向量：
则Normal equation的公式为：
注：这里直接给出了正规方程的公式，没有给出为什么是这样的，如果想知道原因，建议看看MIT线性代数 第4章4.3节“最小二乘法”的相关内容，这里面最关键的一个点是：
“The partial derivatives of ||Ax−b||2 are zero when ATAx=ATb.
举例可见官方的PPT，此处略；
Octave公式非常简洁：pinv(X' * X) * X' * y
对于m个样本，n个特征的问题，以下是梯度下降和正规方程的优缺点：
梯度下降：
需要选择合适的learning rate α;
需要很多轮迭代；
但是即使n很大的时候效果也很好；
Normal Equation:
不需要选择α；
不需要迭代，一次搞定；
但是需要计算(XTX)−1，其时间复杂度是O(n3)
如果n很大，就非常慢
7) Normal equation and non-invertibility (optional)(正规方程在矩阵不可逆情况下的解决方法)
对于Normal Equation，如果XTX 不可逆怎么办？
1) 去掉冗余的特征（线性相关）：
例如以平方英尺为单位的面积x1, 和以平方米为单位的面积x2，其是线性相关的：
x1 = (3.28)2 x2
2) 过多的特征，例如m <= n:
删掉一些特征，或者使用regularization--之后的课程会专门介绍。
参考资料：