为什么nim游戏这么多改编版本啊! こら！
给定(n)堆石子，第(i)堆石子有(A_i)个，两个人轮流取，每次可以选择至多(k)堆石子，对于选择的每一堆石子，取走某一正整数值的石子，试问先手必胜的条件
先说结论，当且仅当二进制下，在每一位上，都有在此位为(1)的个数是(k + 1)的倍数时，先手必输
也可以等价地描述为：
定义(a oplus b)为(k+1)进制不进位的加法
那么先手必败，当且仅当(igoplus A_i = 0)
证明：
事实上，我们只要证明，除非已经处于必输状态，否则都存在一种取法，使先手将石堆取成必输状态
考虑满足该位为(1)的个数不是(k + 1)的倍数的最高位(m)，并且满足该位为(1)的数的个数(模(k + 1)后)为(a)
不难发现，对于在(m)位是(1)的石堆，其石子至少有(2^m)个
这也就意味着，我们对于这些石堆，可以选择任取([1, 2^m])个
我们稍微考虑“减法”的影响，比如(16_{10} = 10000_{2})，减去(2)后，变为(14_{10} = 01110_{2})
这启示我们，当我们从一个数减去(2^i)时，第(i)位以下的数字不会被改变，因此我们从第(0)位一直考虑到第(m - 1)位
如果第(0)位有(b)(模(k + 1)后)个数，并且(b < a)，那么我们从上述石堆随意挑选(b)个石堆，让它们先减(1)，否则让所有石堆减(2^0)
在经过上述变化后，假设第(1)位有(c)(模(k + 1)后)个数，如果(c < a)，那么再随意挑选(c)个石堆，否则所有石堆减(2^1)
依次类推，直到第(m)位，这个时候，对于每个石堆，如果第(m)位仍为(1)，那么这个石堆减(2^m)，否则不作为
这么一番操作之后，我们不难发现，所有位上的(1)的个数的最大值不会超过(k - a)个，并且我们还能选择(k - a)个数去修改它
这个时候再去考虑操作之后的最高位，进行同样的操作，如此下去，可以断言，我们可以将状态取成必输态
所以最终结论是：博弈论的题，先打表，再去想证明