近世代数科普

群论二

1. 同态与同构

• 群的同态：设(f : G o G')，如果其满足(forall a, b in G, f(a)f(b) = f(ab))，则称(f)是一个同态

  • 当(f)是一个满射时，称为满同态
  • 当(f)是一个单射时，称为单同态
  • 当(f)是一个双射时，称为同构，称为(G cong G')

• 常记(f(G) = {f(x) :xin G })，(f^{-1}(x) = {a:f(a) = x})，(f^{-1}(S) = {a:f(a)in S})

• 常用结论

  • 设(f : G o G')为一个同态，则(f(e) = e')，(f(a)^{-1} = f(a^{-1}))

  • 设(f : G o G')为一个同态，则(f(G) leqslant G')

    Prof：对(a', b'in f(G))，(exists a,b in G, f(a) = a', f(b)=b')，则(a'b'^{-1} = f(a)f(b)^{-1} = f(ab^{-1}) in f(G))

2. 正规子群

• Def：设(H leqslant G)，若(forall a in G, aH = Ha)，则称(H)为一个正规子群，记做(H lhd G)

• 正规子群的等价结论：

  • 设(H leqslant G)，(forall a in G, aHa^{-1} = H)

  • 设(H leqslant G)，(forall a in G, aHa^{-1} subseteq H)

    Prof：取(a)和(a^{-1})，(aHa^{-1} subseteq H)，(a^{-1}Ha subseteq H)

• 设(H lhd G)，(Kleqslant G)，则(H cap K lhd K)

  Prof：(forall x in H cap K, forall gin K, g^{-1}xg in H cap K)（(H)是由正规子群，(K)由群的封闭性）

3. 核

• Def：设(f: G o G')是一个同态，则(f^{-1}(e))称为(f)的核，记做(ker(f))

• 核一定是正规子群：

  • 子群：(forall a, b in ker(f), f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = e in ker(f))
  • 正规子群：(forall g in G, h in ker(f))，(f(ghg^{-1}) = f(g)ef(g^{-1}) = e in ker(f))，从而(gker(f)g^{-1} subseteq ker(f))，从而(ker(f))是正规子群

• (f^{-1}(a) = aker(f))

4. 商群

• 定义一种集合运算，(AB = {ab|ain A, bin B})

• Def：设(H leqslant G)，(G/H)为(H)的陪集的集合，若(H lhd G)，(G/H)在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为(H)，元素(aH)的逆元为(a^{-1}H)

  Prof：(forall aH, bH in G /H, aHb^{-1}H = ab^{-1}H in G/H)

5. 自然同态

• 设(Hlhd G)，则存在(G o G/H)的同态(varphi(a)=aH)，称为(H)的自然同态
  • 自然同态一定是满同态
• (varphi(H)=varphi^{-1}(H)=H)

6. 群同态基本定理

• 设(f:G o G')是一个满同态，则(G/ker(f) cong G')

  Prof：记(N = ker(f))，构建映射(phi(aN) = f(a))

  先证为双射，如果(f(a) = f(b))，则(a in bN)，则(aN = bN)，故为单射

  (forall a'in G', exists ain f^{-1}(a'), s.t. phi(aN)=a')，故为满射

  再证同构，(phi(aN)phi(bN) = f(a)f(b) = f(ab) = phi(abN) = phi(aNbN))

• 推论：设(f:G o G')是一个同态，则(G/ker(f) cong f(G))

7. 群同态定理

• 设(f:G o G')是一个满同态，记(N = ker(f))

  • (f)建立(G)包含(N)的子群与(G')的子群之间的一一对应

    Prof：设(S_1 = { K:Nleqslant Kleqslant G})，(S_2 = {K:Kleqslant G'})

    (a) 首先证明映射合法，(forall H in S_1, f:H o G')是一个同态，因此(f(H)leqslant G')

    (b) 证明单射，先证(forall Hin S_1, f^{-1}(f(H))=H)，知(Hsubset f^{-1}(f(H)))，并且(forall x in f^{-1}(f(H)), f(x) in f(H))，因而(exists hin H, f(x) = f(h))，故(x in hN subset H)，故(f^{-1}(f(H))subset H)，因此(f^{-1}(f(H)) = H)，那么如果(f(H_1) = f(H_2))就有(H_1 = H_2)

    (c) 证明满射，(forall H' in S_2, f(f^{-1}(H')) = H')

  • (f)建立(G)包含(N)的正规子群与(G')的正规子群之间的一一对应

    Prof：设(S_a = {K:Nleqslant K lhd G}, S_b = {K:Klhd G'})

    (a) (f:S_a o S_b)合法，因为(forall K in S_a, forall gin G, gKg^{-1} = K)，故(f(K) = f(gKg^{-1}) = f(g)f(K)f(g)^{-1})，由(f)是满同构知(f(K)in S_b)，又由(f : S_1 o S_2)是双射知，(f)是一个单射

    (b) 反之，(forall K' in S_b, forall g in G, f(g^{-1}f^{-1}(K')g) = f(g)^{-1}K'f(g) = K')，从而(g^{-1}f^{-1}(K')g subset f^{-1}(K'))，从而(f^{-1}(K')in S_a)，由(f:S_1 o S_2)是双射知，(f)是一个满射

  • 上述两条主要是为了接下来的定理的描述

• 第一群同构定理：设(f:G o G')是一个满同态，设(N = ker(f))，设(N subset H lhd G)，则(G/Hcong G'/f(H))

  Prof：设(G'/f(H))的自然同态为(pi)，那么我们考虑同态(varphi = pi f(G o G'/f(H)))，由(pi, f)为满同态，则(varphi)为满同态

  我们考虑证明(H = ker(varphi))，即({x |pi f(x) in f(H)})，显然(H subseteq ker(varphi))，而(forall x in ker(varphi))，有(pi f(x) in f(H))，即(f(x) in f(H))，即(x in f^{-1}(f(x)) subseteq H)，从而(H = ker(varphi))，由群同态基本定理，我们得到(G/H cong G'/f(H))

• 第二群同构定理：设(H leqslant G, N lhd G)，则(HN/N cong H/Hcap N)

  • 为了使定理有意义，先证(HN)是子群，首先(HN=NH)，(forall h_1, h_2 in H, n_1, n_2in N)，(n_1h_1(n_2h_2)^{-1} = n_1(h_1h_2^{-1})n_2 in NHN =HN)，故(HN)为子群

  Prof：设(H/H cap N)的自然同态为(pi)，(pi(a)=a(Hcap N))，构造(f:HN o H)，(forall xin aN, f(x)=a)，则(phi = pi f)是一个满同态

  我们考虑证明(N = ker(phi))，即({x |pi f(x) in Hcap N})，首先(f(N) = e, pi(e) = H cap N)，故(N subseteq ker(phi))

  而且(forall x in ker(phi), f(x) in {e})，故(xin N)，故(ker(phi) subseteq N)

• 第三群同构定理：设(N lhd G, N leqslant H lhd G)，则(G/H cong (G/N)/(H/N))

  Prof：第一群同构定理，取(G' = G/N)的特例

群论三

1. 单群

• Def：如果(G)没有非平凡的正规子群（({e})和(G)），那么(G)称为单群

• (G eq {e})是交换单群，当且仅当(G)为素数阶的循环群

  Prof：对任意(g eq e)，考虑(langle g angle)

2. 生成子群

• 记最小包含(S)的子群为(langle S angle)，即(langle S angle = igcap_{Ssubset Hleqslant G} H)
• (forall x in S, x = x_1x_2...x_m(x_1, x_2, ..., x_m in Scup S^{-1}))
• 当(S)有限时，(langle S angle)称为有限生成群

3. 换位子群（导群）

• (a^{-1}b^{-1}ab)称为元素(a, b)的换位子（交换子），记做([a,b])

• 所有的换位子生成的子群称为换位子群（导群），常记做(G'), ([G, G]), (G^{(1)})（以后变量要取别的名字了...）

  • 当(ab=ba)时，([a, b] = a^{-1}b^{-1}ab = e)

• (G' lhd G)

  Prof：(g[a, b]g^{-1} = (ga^{-1}g^{-1})(gb^{-1}g^{-1})(gag^{-1})(gbg^{-1}) = [gag^{-1}, gbg^{-1}])

  (forall x in G', x = [a_1, b_1][a_2, b_2]...[a_m, b_m]), 故(gxg^{-1} = [ga_1g^{-1}, gb_1g^{-1}][ga_mg^{-1}, gb_mg^{-1}] in G')

  故(forall gin G, g^{-1}G'g subseteq G')，故(G' lhd G)

• (G/G')是阿贝尔群

  Prof：(aG'bG' = bG'aG' Leftrightarrow aG'b = bG'a Leftrightarrow G' = a^{-1}bG'ab^{-1} Leftrightarrow G' = G' a^{-1}bab^{-1} Leftrightarrow G'= G'[a, b^{-1}])

4. 可解群

• 定义(G^{(n)} = (G^{(n - 1)})^{(1)})，注意到(G hd G^{(1)} hd G^{(2)} hd ...)

• Def：如果(G^{(k)} = {e})，则称(G)为可解群

  • 利用换位子群的商群的性质，有这样的充要条件：群(G)是可解群当且仅当存在(G hd G_1 hd G_2 .... hd G_k = {e})，且(G_{i-1}/G_i(1leq ileq k))为阿贝尔群

    Prof：“(Rightarrow)"：显然，(G, G^{(1)}, G^{(2)}, ....)，满足题意

    “(Leftarrow)”：如果(G/N)是阿贝尔群，考虑(varphi:G o G/N)为自然同态，那么有(varphi([a, b]) = e)，即([a, b] in N)

    从而我们有(G^{(1)} leqslant N)，在本题中，由于(G/G_1)是阿贝尔群，故(G^{(1)} leqslant G_1)，归纳得到(G^{(k)} leqslant G_k)，即(G^{(k)} = {e})

5. 中心化子

• 定义(C(G)={x:forall ain G, ax=xa})，称为群(G)的中心
  • (C(G) lhd G)
• 类似的，定义(C_S(G) = {x:forall ain S, ax = xa})，称为(S)的中心化子
  • (C_S(G) leqslant G)

6. 群对集合的作用

• 设(f:G imes S o S)，且满足[1] (f(e, x)=x) [2] (f(g_1g_2, x) = f(g_1, f(g_2, x)))，称(f)决定了群(G)在(S)上的作用，(f(g_1, x))常简写为(g_1(x))

• 设(G)是一个群，(X, X')是两个非空集合，(G)作用在(X, X')上，如果存在双射(phi:X o X')，使得(phi(g(x)) = g(phi(x)))，则称这两个作用等价

  • example：项链的旋转构成群，对长为(n)的全红项链和全蓝项链显然等价

• 设(G)作用在(X)上，定义关系(R= {(x, y) | exists gin G, g(x) = y})，易证(R)是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和(x)等价的元素记做(O_x = {g(x)|gin G})

  • 给一条项链染色，在旋转操作下等价的元素

• 设(G)作用在(X)上，(forall x in X)，定义(H_x ={gin G|g(x)=x})为(x)的稳定子群（显然为子群）

• 如果(|O_x| = 1)，或者说(forall gin G, g(x) = x)，则称(x)为不动点

7. 齐性空间

• Def：设(H leqslant G)，则(H)的所有左陪集构成的集合称为(G)的齐性空间

  • 一般的，默认(g(aH) = gaH)是(G)在(G/H)上的作用

• 设(G)作用在(X)上，则(forall x in X)，(G)在(O_x)上的作用和其在(G/H_x)上的作用等价

  Prof：定义映射(f:G/H_x o O_x, f(aH_x) = a(x))

  其为单射，因为(b(x) = a(x) Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x Leftrightarrow bH_x=aH_x)

  其显然为满射，因此此为一一映射，并且，(f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x)))

• 设(G)为有限群，(G)作用在(X)上，则(|O_x| = |G/H_x|)

  Prof：由上一个命题，(f)是一个一一映射，故这两个集合的基数相等

  • ex：求正方体的旋转群的大小

    我们考虑利用上式公式，不难得到(|H_1| = 3)，(|O_1| = 8)，从而(|G| = 24)

• 在(G)作用到(G)上，并且(g(x) = gxg^{-1})时，此时(H_x = C_G(X))，定义(C(x))为和(x)共轭的元素的集合，则(|C(x)| = |G :C_G(x)|)

  根据等价类的定义，从每个共轭类中选择一个元素，得到(|G| = sum_x [G:C_G(x)])

  特别的，当(xin C(G))时，([G:C_G(x)] = 1)，因此我们选择从每个非平凡的共轭类中选择一个(x)元，则有(|G| = |C(G)| + sum_x |G:C_G(x)|)

  这称为共轭类方程

• 设(Hleqslant G)，则(H cong xHx^{-1}(xin G))

8. (p-)群

• Def：如果(|G| = p^k(kgeq 1))，其中(p)为素数，则称(G)为(p-)群

• 设(p-)群(G)作用于集合(X)上，设(|X|=n)，设(t)为(X)中不动点的数目，则(t equiv n(mod;p))

  Prof：设集合(X)的全部轨道为(O_1, O_2, ..., O_k)，则有(sum |O_i| = n)，注意到(|O_i| = p^m(mgeq 0))，当且仅当(|O_i| = 1)时，有(|O_i|;mod;p =1)，否则(|O_i| ;mod;p=0)，因此(t equiv n(mod;p))

• (p-)群一定有非({e})的中心

  Prof：考虑(G)到(G)上的共轭变换，任意(G)的中心中的元素一定是一个不动点，因此，我们有(|C(G)|equiv 0(mod;p))，自然我们得到(|C(G)|>1)

9. Burnside 引理

• 设群(G)作用于集合(S)上，令(t)表示(S)在(G)作用下的轨道的条数，(forall gin G)，(F(g))表示(S)在(g)作用下不动点的个数，则$$t = frac{sum_{gin G} F(g)}{|G|}$$

  Prof：首先转化命题，我们运用双计数证明(|G|*t = sum_{gin G}F(g))

  考虑右式，(sum_{gin G}F(g) = sum_{xin S, gin G} [gx = x] = sum_{xin S} {g:gin G, gx=x} = sum_{xin S} |H_x|)

  由于(|H_x| = |G| / |O_x|)，因此所求即(|G|*sum_{x in S}frac{1}{|O_x|})，即证(sum_{xin S} frac{1}{|O_x|} = t)

  考虑一个轨道(O_x)，这个轨道产生的贡献为(|O_x| * frac{1}{|O_x|} = 1)，如此，(t)为不同的轨道的条数，命题得证

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群论四

好像有些不太正常的要来了

1. 西罗第一定理

• 设(G)是一个阶为(n)的有限群，(p)为素数，如果(p^k | n, k geq 0)，那么(G)中存在一个阶为(p^k)的子群

  Prof：引理：设(n = p^r*m, (p, m) = 1)，对(k leq r)，有(v_p(inom{n}{p^k})=r-k)（由(Kummer;TH)显然）

  取(G)中所有含有(p^k)个元素的子集，构成集合(X)，令(G)作用在(X)上，定义(g(A) = gA, Ain X)

  那么有(|X| = sum |O_i|)，由于(p^{r-k+1} mid |X|)，因此存在(Ain X)，使(p^{r-k+1} mid |O_A|)，下证(|H_A|=p^k)

  由(|O_A| |H_A|= |G|)知，(v_p(H_A) geq k)，即(|H_A| geq p^k)

  但(forall ain A, H_Aa subset A)，故(|H_A| leqslant |A| = p^k)，从而(|H_A|=p^k)

• 设(v_p(|G|) = k)，则阶为(p^k)的子群称为西罗(p-)子群

2. 西罗第二定理

• 设(v_p(|G|) = r)，(P)是(G)的一个西罗(p-)子群，(forall H leqslant G, |H|=p^k, exists gin G, s.t. H leqslant gPg^{-1})

  Prof：考虑(X)为(P)的左陪集的集合，将(H)作用于(X)，(h(aP)=haP)

  由于((|X|, |H|) = 1)，那么存在一个不动点，使得(HgP = gP)

  此时(forall h in H ,exists p_1, p_2in P, hgp_1=gp_2)，即(h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} in gPg^{-1})，因此(H leqslant gPg^{-1})

• 推论1：任意两个西罗(p-)子群互相共轭

• 推论的推论：一个群(G)有唯一的西罗(p-)子群(P)的充要条件为(P lhd G)

3. 正规化子

• Def：对(H leqslant G)，定义({g:gin G, gH=Hg})为(H)的正规化子，记做(N(H))

  • (N(H) leqslant G)

  • (H lhd N(H))

  • (C_G(H) leqslant N(H))

• (G)中西罗(p-)子群的个数，以及对任一西罗(p-)子群(P)，(N(P))的阶为(|G|)的因子

  Prof：设(X)为(G)中所有西罗(p-)子群的集合，在上面作共轭变换

  对任一西罗(p-)子群(P)，有(O_P = X)，(H_P = N(P))，从而(|X|*|N(P)|= |G|)

4. 西罗第三定理

• 若(G)中所有西罗(p-)子群的个数为(t)，则(t equiv 1(mod;p))

  证明从略

• 由西罗第三定理，设(|G| = p^r * m, (p, m) = 1)，结合(t | |G|)，我们有(t | m)