[NOI2007]货币兑换
题目描述:
小 Y 最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A 纪念券(以下简称 A 券)和 B 纪念券(以下简称 B 券)。
每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。
每天随着市场的起伏波动,两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。
我们记录第 K 天中 A 券和 B 券的价值分别为 (A_{k})和 (B_{k}) (元/单位金券)。
为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法。
比例交易法分为两个方面:
a) 卖出金券:顾客提供一个[0,100]内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将 OP%的 A 券和 OP%的 B 券以当时的价值兑换为人民币;
b) 买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑换给用户总价值为IP 的金券,
并且,满足提供给顾客的 A 券和 B 券的比例在第 K 天恰好为 (Rate_{k}) ;
例如,假定接下来 3 天内的 (A_{k}) 、 (B_{k}) 、 (Rate_{k}) 的变化分别为:
时间 (A_{k} ;;B_{k};;Rate_{k})
第一天 1 1 1
第二天 1 2 2
第三天 2 2 3
假定在第一天时,用户手中有 100 元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作:
时间 用户操作 人民币(元) A 券的数量 B 券的数量
开户 无 100 0 0
第一天 买入100元 0 50 50
第二天 卖出50% 75 25 25
第二天 买入60元 15 55 40
第三天 卖出100% 205 0 0
注意到,同一天内可以进行多次操作。
小 Y 是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经知道了未来 N 天内的 A 券和 B 券的价值以及 Rate。
他还希望能够计算出来,如果开始时拥有 S 元钱,那么 N 天后最多能够获得多少元钱。
输入格式:
第一行两个正整数 N、S,分别表示小 Y 能预知的天数以及初始时拥有的钱数。
接下来 N 行,第 K 行三个实数 (A_{k};;B_{k};;Rate_{k}),意义如题目中所述。
输出格式:
只有一个实数 MaxProfit,表示第 N 天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留 3 位小数。
本题没有部分分,你的程序的输出只有和标准答案相差不超过 (10^{-3}) 时,才能获得该测试点的满分,否则不得分。
测试数据设计使得精度误差不会超过 (10^{-7})。(丧心病狂)
对于 40%的测试数据,满足 N ≤ 10;
对于 60%的测试数据,满足 N ≤ 1 000;
对于 100%的测试数据,满足 N ≤ 100 000;
对于 100%的测试数据,满足:
0 < (A_{k}) ≤ 10;
0 < (B_{k}) ≤ 10;
0 < (Rate_{k}) ≤ 100
MaxProfit ≤ (10^{9}) ;
输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
首先,题面中的“比例交易法”非常的烦人,能不能将其转化掉呢?
发现是可以的。
贪心可知:能买就全部买,能卖就全部卖
手上要么全是钱,要么全是券。
有了这个结论,就可以统一用一样的钱来表示每天的状态。
那么,(dp(i))表示到第(i)天为止能获得的最多钱数。
转移呢?
如果这一天什么都不做,那么(dp(i)=dp(i-1))
如果这一天选择卖股票,那么它一定要在某天买股票,因此,枚举买股票的那天来转移
设(fa(i), fb(i))表示第(i)天用钱能换到的(A,B)券数量。
设(a(i),b(i))表示第(i)天(A,B)券的价格
那么有:(dp(i)=max(fa(j)*a(i)+fb(j)*b(i))(1<=j<=i-1))
(fa(j),fb(j))怎么表达?
(numa*a(j):numb*b(j)=1:rate(j))
(numa=frac{rate(j)}{a(j)*rate(j)+b(j)})
(numb=frac{1}{a(j)*rate(j)+b(j)})
(fa(j)=numa*dp(j))
(fb(j)=numb*dp(j))
这是一个十分不错的(O(n^{2}))算法,有60分已经非常的不错了。
能不能更近一步?
(frac{dp(i)}{b(i)}=min(frac{fa(j)*a(i)}{b(i)}+fb(j))(1<=j<=i-1))
这是一个十分像斜率优化的式子。
其中,(k)为(frac{-a(i)}{b(i)}),没有单调性
其中,(x)为(fa(j)),没有单调性
也就是说,插入的点可能在凸包内,查询要二分。
很自然的,可以想到用平衡树来解决这个问题。
但,既然CDQ为了代替平衡树而提出了CDQ分治,自然应该选择CDQ分治了。
CDQ分治是如何做的呢?
设((x(i),y(i)))表示斜率优化的点的坐标
那么,在(Solve(l,r))中,首先把左区间的点和右区间的点分离出来(注意不要破坏本来的序)。
由于右区间的点会对左区间造成贡献,而左区间不会,因此考虑让左区间形成凸包,右区间在上面查询。
既然是分治,复杂度做到(O(n))自然是好的。
因此,让左区间维护水平序,就可以在(O(n))的时间内建出凸包
而如果右区间能做到斜率单调,那么就可以用单调队列做到(O(n))查询
因此,右区间需要按斜率排序
???一段区间内维护两种序,这是可能的吗?
可能的,不难注意到是左区间在不断地增加,而右区间在不断减少。
因此,完全可以在外部给斜率排好序,在内部慢慢的归并来维护水平序。
操作顺序:
1.把原本处于((l,mid),(mid+1,r))区间的数有序的提取出来
2.(Solve(l,mid))保证左区间满足水平序
3.(O(n))建出凸包
4.(O(n))查询,更新右区间的点
5.(Solve(mid + 1, r))递归更新右区间,同时让右区间拥有水平序
6.(O(n))合并左区间和右区间,让整个区间拥有水平序
7.(return)
无论什么操作,CDQ分治的复杂度都是(O(n))
根据主定理,复杂度(O(n log n))
补充:
注意分治内各个操作的顺序
注意精度
注意斜率坑人
注意常数(虽然感觉是个人都能过的常数限制)